FIR フィルタの周波数変換

要点

FIR 周波数変換の公式（$h_{\mathrm{LPF}}$：零位相 LPF、遮断 $\Omega_{\mathrm{LPF}}$）

• HPF（$\pi$ シフト）：$h_{\mathrm{HPF}}[n]=(-1)^n\,h_{\mathrm{LPF}}[n]$、$H_{\mathrm{HPF}}(z)=H_{\mathrm{LPF}}(-z)$。遮断は $\pi-\Omega_{\mathrm{LPF}}$。零点・極は $z\mapsto-z$（原点対称の位置）へ移る。
• BPF（$\pm\Omega_S$ シフトの和）：$h_{\mathrm{BPF}}[n]=2\cos(n\Omega_S)\,h_{\mathrm{LPF}}[n]$。通過域は $\Omega_S\pm\Omega_{\mathrm{LPF}}$。
• BSF（BPF の反転）：$h_{\mathrm{BSF}}[n]=\delta[n]-2\cos(n\Omega_S)\,h_{\mathrm{LPF}}[n]$（通過域利得 1 に正規化した場合）。

注意：周波数変換は零位相フィルタに対して行う（そのあと因果化する）。HPF は一つのシフトなので元の LPF のリップル・遷移域が保存されるが、BPF・BSF は二つのシフトの重ね合わせなので相互干渉があり、元の性質は厳密には保存されない（設計式は目安になる）。