パックの麦茶の濃さが一定で止まるのはなぜ？

問いは木下が出したもので、答えは Claude Code と調べて書いたものです。

Q（木下の問い・直感） パックの麦茶を水に入れておくと、色（濃さ）がある程度で頭打ちになる。砂糖水みたいに 溶質を大量に入れてるわけじゃないから、溶解度の飽和ではなさそうなのに、なぜ止まる？

A 飽和（＝溶媒の受け入れ限界）ではない。理由は主に二つ。

1. 可溶分の総量が有限。焙煎大麦から水に出るのは、焙煎でできた褐色色素（メイラード・ カラメル化の生成物）や可溶性の糖・アミノ酸・ミネラル。パック1袋の「溶け出せる分」は 最初から決まっているので、全部出きればそれ以上濃くならない。上限濃度 ≒ （可溶分の質量） ÷（水の量）。だから水を減らせば濃く、増やせば薄い。飽和と真逆で「溶かす側の限界」では なく「溶ける側（供給）の枯渇」。

2. 拡散が平衡へ漸近して速度が落ちる。抽出は、粒の内部と周りの水の濃度差（濃度勾配）を 駆動力とする拡散で進む。出るほど外の水が濃くなり差が縮み、出る速度が落ちて、最後は内外の 濃度がつり合う分配平衡へ指数関数的に近づく。だからある時間から先はほぼ変化がなく見える。

補足 水出しで一晩置いても途中からほぼ変わらないのはこのため。お湯だと拡散・溶解が速く可溶分が 多く早く出るので濃く出る。メーカーの「1Lに1袋」等の指定は、この上限濃度がちょうど目標の 濃さになるよう設計されている。砂糖水（溶媒が限界＝飽和）とは別メカニズム。

補足2（2026-07-25・拡散モデルを具体化） 「濃度勾配を駆動力とする拡散」は数式モデルに落ちる。土台は3点セット＝①フィックの第1法則 $J = -D \cdot (dC/dx)$（流束は濃度の傾きに比例。真の駆動力は化学ポテンシャル勾配 $\nabla \mu$ で、希薄理想溶液 $\mu = \mu^{\circ} + RT \cdot \ln C$ より $\nabla \mu \propto \nabla C/C$、その代理が濃度勾配）②質量保存 ③粒表面での局所平衡（分配則）。 これで方程式が閉じるから立てられる。

• モデル①（よく混ざった水・線形推進力）：$dc/dt = k\,a\,(c_{\mathrm{eq}} - c) \to c(t) = c_{\mathrm{eq}}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$、$\tau = 1/(k\,a)$。 差 $(c_{\mathrm{eq}} - c)$ が指数で減る＝「差が縮み速度が落ち平衡へ漸近」の数式表現。
• モデル②（球内拡散を厳密に）：$\partial C/\partial t = D \cdot (1/r^2) \cdot \partial/\partial r (r^2 \cdot \partial C/\partial r)$ を解くと $E(t) = 1 - (6/\pi^2)\sum (1/n^2)\exp(-n^2\pi^2 Dt/R^2)$、長時間は $\tau = R^2/(\pi^2 D)$ の指数緩和。 整合：$\tau \propto R^2$ → 微粉化で劇的に速い（半分の径で1/4）＝パックが微粉＋袋な理由。$\tau \propto 1/D$、$D \propto e^{-E_a/RT}$ → お湯で速い・水出しで遅い。上限濃度 $c_{\mathrm{eq}}$ は可溶分総量で決まり速度 $\tau$ とは独立＝平衡と速度論の役割分担。

補足3（2026-07-25・砂糖と同じ拡散方程式か） 支配方程式は砂糖と同じ $\partial C/\partial t = D \cdot \nabla^2 C$（フィック第2法則、拡散するもの全部に効く）。違うのは 「どこで・どんな境界で解くか」の3点：①律速拡散の場所＝砂糖は緻密結晶で内部拡散なし（表面溶解＋ 水中拡散、$D$ は自由水値）／麦茶は多孔質粒の内部拡散が律速で有効拡散 $D_{\mathrm{eff}} = D \cdot (\varepsilon/\tau_{\mathrm{tort}}) < D$。 ②境界条件＝砂糖は表面が溶解度 $c_{\mathrm{sat}}$ に張り付き、縮む結晶なら移動境界(Stefan型)／麦茶は分配平衡で 有限リザーバゆえ時間とともに下がる。③止まる理由＝砂糖は $c_{\mathrm{sat}}$ 到達＝真の飽和／麦茶は $c_{\mathrm{sat}}$ 手前で 可溶分枯渇＝$c_{\mathrm{eq}}$（＝前項の対比の精密化。角砂糖1個200mLも実は飽和の下で全溶＝供給枯渇側）。 よく撹拌して勾配を潰せば両者とも集中定数 $c(t) = c_{\mathrm{eq}}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ に潰れ、差は $\tau$ と $c_{\mathrm{eq}}$ の中身に集約。