光が電磁場の波であるとはどういうことか（横波・電場と磁場が直交）

問いは木下が出したもので、答えは Claude Code と調べて書いたものです。

（この項目と「黒体放射はなぜ光るのか」とその補足をまとめた PDF＝教養/黒体放射と電磁波/黒体放射と電磁波）

なんか光が電磁場であるとか、横波で電場と磁場が直行して進んでいくとか、よくわからない。これってどういうことだったんだっけ

答え：空間の各点に矢印（電場と磁場）が付いていて、その矢印の向きと長さが振動するパターンが光速で進むものが光である。マクスウェル方程式から、真空中ではそのパターンが必ず横向きで、電場と磁場が互いに直交する形になる

① 「場」とは各点に付いた矢印である。 天気図の風向き・風速のように、空間のすべての点に矢印が1本ずつ付いているものを場と呼ぶ。電場 $\boldsymbol E$ は「そこに電荷を置いたら受ける力の向きと強さ」、磁場 $\boldsymbol B$ は「そこを電荷が動いたら受ける力」を決める矢印である。光（電磁波）は、この矢印の並びが振動しながら進むパターンである。何か物体が上下に揺れているわけではなく、各点の矢印の長さと向きが時間とともに変わっている。

② 教科書の図の読み方。 よく見るサインカーブ2本の図は、進行方向の1本の直線上の各点で、電場の矢印と磁場の矢印がどれだけの長さかをグラフにしたものである。カーブが空間に張り出しているわけではない。光線の太さ方向にも同じ矢印がびっしり並んでいる（平面波）。

③ なぜ自分で進み続けられるのか。 マクスウェル方程式のうち2本が鍵になる。

• ファラデーの法則 $\nabla\times\boldsymbol E = -\partial_t\boldsymbol B$：磁場が変化すると、そのまわりに渦を巻く電場ができる。
• アンペール・マクスウェルの法則 $\nabla\times\boldsymbol B = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\boldsymbol E$（真空中）：電場が変化すると、そのまわりに渦を巻く磁場ができる。

変化する電場が隣に磁場を作り、その磁場の変化がさらに隣に電場を作る、という連鎖で、電荷も導線もない真空をパターンが伝わっていく。2式を組み合わせると波動方程式 $\nabla^2\boldsymbol E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\boldsymbol E$ が出て、伝わる速さは $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ になる。電気と磁気の実験室の定数から光速が出てきたことが、マクスウェルが「光は電磁波だ」と結論した根拠である。

④ なぜ横波なのか。 真空中のガウスの法則 $\nabla\cdot\boldsymbol E = 0$（電荷がないので電気力線は湧き出しも吸い込みもしない）を、$z$ 方向に進む平面波 $\boldsymbol E \propto e^{i(kz-\omega t)}$ に当てはめると $ikE_z = 0$、つまり $E_z = 0$ になる。進行方向の成分があると、電気力線が湧き出す点と吸い込む点が交互に並ぶことになり、電荷のない真空ではそれが許されない。磁場も $\nabla\cdot\boldsymbol B = 0$ から同様に $B_z=0$。だから電場も磁場も進行方向に垂直な横波になる。前の補足で見た「電気力線の折れ目」が横向きだったのと同じことである。

⑤ なぜ電場と磁場が直交するのか。 ファラデーの法則を平面波に当てはめると $\boldsymbol k\times\boldsymbol E = \omega\boldsymbol B$ になる。外積の結果なので、$\boldsymbol B$ は $\boldsymbol k$（進行方向）にも $\boldsymbol E$ にも垂直である。大きさは $|\boldsymbol B| = |\boldsymbol E|/c$ で、山と谷の位置（位相）もそろう。$\boldsymbol E$、$\boldsymbol B$、進行方向は右手系をなし、エネルギーの流れ $\boldsymbol S = \boldsymbol E\times\boldsymbol B/\mu_0$ が進行方向を向く。電場の矢印が向いている方向を偏光と呼ぶ。

補足：電荷が動くと放射するのは原理なのか、実験からの要請なのか

これがどういう原理で放射するの？電荷が動くと。それともそれって実験事実から出る要請なの？

答え：放射そのものは別立ての仮定ではなく、マクスウェル方程式から導かれる帰結（定理）である。仮定として置いているのはマクスウェル方程式のほうで、その根拠は実験と理論的な整合性の両方にある。

① 層の構造。 電磁気学で公理として置くのはマクスウェル方程式（＋ローレンツ力）だけである。その中身はほぼ実験事実をまとめたものである。クーロンの法則（ガウスの法則）、磁荷が見つからないこと、ファラデーの電磁誘導、アンペールの法則がそれにあたる。ただし1か所だけ実験でなく理論から足された項がある。マクスウェルが加えた変位電流 $\varepsilon_0\partial_t\boldsymbol E$ である。元のアンペールの法則は電荷保存（連続の式）と矛盾していて、それを直すために必要だった。そしてこの項があって初めて「電場の変化が磁場を作る」連鎖が閉じ、電磁波の解が現れる。マクスウェルは光速を理論から予言し（1864）、ヘルツが実験で電磁波を確認した（1888）。つまり放射は「実験を説明するために後から足した要請」ではない。理論が先に予言し、実験が後で確かめたものである。

② 方程式から放射を導く筋道。 電荷と電流を源としてマクスウェル方程式を解くと、ある点の場は、光速で届くのに要する時間だけ過去の電荷の状態で決まる（遅延ポテンシャル）。点電荷に対して計算すると（リエナール・ヴィーヒェルトの場）、電場はきれいに2項に分かれる。

• 速度だけで決まり $1/r^2$ で減る項：クーロン場が動いたもの
• 加速度に比例し $1/r$ で減る項：放射場

前の補足のラーモアの式は、この第2項から出る。だから「加速度があると放射する」は計算の結果として出てくる。

③ もっと少ない仮定でも導ける。 実は次の3つだけで放射場の式が出せる（パーセルの教科書の電気力線の折れ目の議論）。

1. 静止（または等速）の電荷の場はクーロン場である
2. 場の変化は光速 $c$ でしか伝わらない（因果律・相対論）
3. 電気力線は電荷のない所で途切れない（ガウスの法則）

電荷を短時間 $\Delta t$ だけ加速すると、半径 $ct$ の球の内と外でクーロン場の中心がずれる。厚さ $c\Delta t$ の殻の中で力線をつなぐ必要があり、その横向き成分を幾何で計算すると $E_{\rm rad} = qa\sin\theta/(4\pi\varepsilon_0c^2r)$ がそのまま出る。この観点では、放射は「電荷の場が瞬時には変われない」ことの帰結と言える。クーロンの法則と相対論を認めると、磁場の存在も導ける。

④ その先はどこで止まるか。 さらに深く「なぜ電磁場という場があるのか」を問うと、場の量子論では局所的な位相の変換（ゲージ変換）に対する不変性を要請すると、マクスウェル方程式の形が決まる、という説明になる。ただし「自然がそのゲージ対称性を持っているのはなぜか」には答えがない。そこから先は「実験と合っている公理」として受け入れることになる。物理の説明はどこかで必ずこの形で止まる。

⑤ 量子の言葉で言い直すと。 等速で飛ぶ自由電子は光子を1個出すことができない。エネルギーと運動量の保存を同時に満たせないからである。原子核のような第三者が運動量を受け取ってくれる（＝電子が力を受けて加速度をもつ）ときに初めて光子を出せる。これが制動放射である。古典論の「加速度がなければ放射しない」は、量子論ではこの保存則の制約として現れる。

補足：放射場とラーモアの式の導出（電気力線の折れ目から）

ちょっと導出過程もうすこし詳しく教えて欲しい。

設定。 電荷 $q$ が原点に静止していて、時刻 $0$ から短い時間 $\tau$ だけ一定の加速度 $a$ を受け、速さ $v = a\tau$（$v\ll c$）になったあとは等速で進むとする。十分あとの時刻 $t$（$t\gg\tau$）での電場の様子を考える。

Step 1：空間が3つの領域に分かれる。 加速が始まった知らせは光速で広がるので、次のようになる。

• 外側 $r > ct$：まだ何も知らない。原点に止まった電荷のクーロン場のまま。
• 内側 $r < c(t-\tau)$：加速が終わった知らせまで届いている。今の位置（原点から約 $vt$ ずれた点）を中心とするクーロン場（$v\ll c$ なので近似的に）。
• 間の殻（厚さ $c\tau$）：内と外の力線をつなぐ部分。

Step 2：力線をつなぐ。 加速度の向きから角度 $\theta$ の方向の力線を1本とる。電荷のない所で力線は途切れないので（ガウスの法則）、外側の力線と内側の力線は殻の中で1本につながっている。内側の中心は外側の中心から $vt$ ずれているので、半径 $r\approx ct$ の位置で比べると、2本の力線は横方向に $vt\sin\theta$ だけずれている。殻の中の力線は、半径方向に $c\tau$ 進む間に横へ $vt\sin\theta$ ずれる斜めの線になる。電場は力線の向きなので、殻の中の電場の横成分と半径成分の比はその傾きに等しい。

$$\frac{E_\perp}{E_r} = \frac{vt\sin\theta}{c\tau}.$$

Step 3：数値を入れる。 $v = a\tau$、$t = r/c$ を代入すると $\tau$ が消える。

$$\frac{E_\perp}{E_r} = \frac{a\,r\sin\theta}{c^2}.$$

半径成分は、殻を貫く力線の本数が変わらないことから、クーロン場と同じ $E_r = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ である。よって

$$E_\perp = \frac{q\,a\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2\,r}.$$

半径成分は $1/r^2$ だが、横成分は分子に $r$ が1つ残って $1/r$ になる。理由は、半径が大きいほど電荷のずれ $vt$ が大きく（$t=r/c$ に比例して）なり、折れ目の傾きが大きくなるからである。向きは加速度の横成分と逆向きで、ベクトルで書くと $\boldsymbol E_{\rm rad} = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\,\hat{\boldsymbol n}\times(\hat{\boldsymbol n}\times\boldsymbol a)$（$\hat{\boldsymbol n}$ は観測方向の単位ベクトル）。

Step 4：エネルギーの流れ。 放射場は横波なので $|\boldsymbol B| = E_\perp/c$ で、ポインティングベクトルの大きさは

$$S = \frac{E_\perp B}{\mu_0} = \frac{E_\perp^2}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c\,E_\perp^2 = \frac{q^2a^2\sin^2\theta}{16\pi^2\varepsilon_0c^3\,r^2}$$

（$1/\mu_0 c = \varepsilon_0 c$ を使った）。加速度の方向（$\theta=0$）には放射が出ず、横方向（$\theta=90^\circ$）にいちばん強く出る（ドーナツ形）。

Step 5：全方向で積分。 半径 $r$ の球面全体で積分すると、$\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\Omega = 2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta = \frac{8\pi}{3}$ より

$$P = \int S\,r^2 d\Omega = \frac{q^2a^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\cdot\frac{8\pi}{3} = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}.$$

$r$ が消えたことが、エネルギーが無限遠まで逃げていくことを示している。これがラーモアの式である（sympy で積分を検算済み）。

別ルート（正攻法）：遅延ポテンシャルから。 マクスウェル方程式をローレンツゲージで解くと、ポテンシャルは遅延時刻 $t_r = t - R/c$（$R$ は電荷から観測点までの距離）の源で決まる。点電荷では$$\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R - \boldsymbol R\cdot\boldsymbol v/c},\qquad \boldsymbol A = \frac{\boldsymbol v}{c^2}\phi$$（右辺はすべて遅延時刻で評価する。リエナール・ヴィーヒェルトのポテンシャル）。$\boldsymbol E = -\nabla\phi - \partial_t\boldsymbol A$ を計算するとき、$t_r$ 自体が観測点の位置に依存するので、$\nabla$ が $t_r$ にかかる部分が出る。$\nabla t_r \sim 1/c$ は $R$ を含まないので、この部分は $1/R$ を1つ減らさずに $\boldsymbol v$ を時間微分して $\boldsymbol a$ を引き出す。その結果$$\boldsymbol E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(\hat{\boldsymbol n}-\boldsymbol\beta)(1-\beta^2)}{\kappa^3R^2} + \frac{\hat{\boldsymbol n}\times\{(\hat{\boldsymbol n}-\boldsymbol\beta)\times\dot{\boldsymbol\beta}\}}{c\,\kappa^3R}\right],\quad \boldsymbol\beta=\frac{\boldsymbol v}{c},\ \kappa = 1-\hat{\boldsymbol n}\cdot\boldsymbol\beta$$が得られる。$v\ll c$ では第2項が上の $\boldsymbol E_{\rm rad}$ に一致する。折れ目の幾何で見た「距離が遠いほどずれが大きい」は、この計算では「遅延時刻を通じて微分が加速度に掛かる」として現れる。

補足：自由電子が光子を1個出せないのはなぜか（制動放射との関係）

等速で飛ぶ自由電子は、光子を1個出すことができません。…（中略）…古典論の「加速度がなければ放射しない」は、量子論では保存則の制約として現れます。これもどういうこと？

① 電子の静止系で見ると一目でわかる。 等速で飛ぶ電子は、一緒に動く座標系に乗れば止まって見える（相対性原理）。その系で $e^-\to e^- + \gamma$ が起きたとする。

• 前：運動量 $0$、エネルギー $mc^2$
• 後：光子が運動量 $\boldsymbol p$ をもって飛ぶなら、電子は運動量保存で $-\boldsymbol p$ の向きに反跳する。エネルギーは $\sqrt{m^2c^4+p^2c^2} + pc$

後のエネルギーは $p>0$ なら必ず $mc^2$ より大きい。止まっている電子には光子に渡すエネルギーの余りがないので、この過程は起こりえない。ある座標系で起こらない過程は、どの座標系でも起こらない。だから等速の自由電子は光子を出せない。（4元運動量で書くと、$(p-k)^2 = p^2$ から $p\cdot k = 0$ が要るが、質量のある粒子と光子では $p\cdot k = E E_\gamma(1-\beta\cos\theta)/c^2 > 0$ なので満たせない。）

② 第三者がいると出せる。 電子が原子核のそばを通ると、原子核のクーロン場と（仮想光子を交換して）運動量をやりとりできる。原子核は重いので、運動量を受け取ってもエネルギーはほとんど受け取らない（$p^2/2M$ が小さい）。すると「電子が失った運動エネルギーを光子に回し、余った運動量は原子核が引き受ける」という形で、エネルギーと運動量の両方が保存できる。これが制動放射である。古典的に言えば、原子核から力を受けている＝加速度をもっている状態である。

③ 古典論と同じ理屈である。 古典論で等速の電荷が放射しない理由も、「静止系に移ればただのクーロン場で、何も出ていない」という同じ論法だった。量子論ではそれが「静止系では光子に渡すエネルギーがない」という保存則の言葉になる。加速度＝外からの力＝運動量を受け取る相手の存在、と対応している。

④ 例外が理屈を裏付ける：チェレンコフ放射。 屈折率 $n>1$ の物質中では、光子の運動量は $p = nE_\gamma/c$ と大きくなる。この場合は電子の速さが物質中の光速 $c/n$ を超えると、①の保存則を満たせるようになり、等速の電子でも光を出す。原子炉のプールが青く光るのはこれである。真空で出せないのは光子の「エネルギーに対する運動量の比」が小さすぎるからだ、ということがこの例外から確かめられる。