全反射では電磁気学的に何が起きているのか
問いは木下が出したもので、答えは Claude Code と調べて書いたものです。
全反射って電磁気学的になにが起きているんだっけ
答え：境界に沿った波数がそろう条件を満たすと、奥へ進む方向の波数が虚数になる。光は染み出すだけで奥へ進めず、エネルギーは全部戻る
境界面を z = 0 z=0 z = 0 n 1 n_1 n 1 n 2 < n 1 n_2<n_1 n 2 < n 1 θ \theta θ k 0 = ω / c k_0=\omega/c k 0 = ω / c
① 境界に沿った波数は保存される。 境界面では電場・磁場の接線成分が、面上のどの点でもどの時刻でもつながっていなければならない。そのためには入射波・反射波・透過波の e i ( k x x − ω t ) e^{i(k_x x-\omega t)} e i ( k x x − ω t ) k x = n 1 k 0 sin θ k_x = n_1k_0\sin\theta k x = n 1 k 0 sin θ k x = n 2 k 0 sin θ 2 k_x = n_2k_0\sin\theta_2 k x = n 2 k 0 sin θ 2
② 奥へ向かう波数を求める。 媒質2の中では k x 2 + k z 2 = n 2 2 k 0 2 k_x^2+k_z^2 = n_2^2k_0^2 k x 2 + k z 2 = n 2 2 k 0 2
k z 2 = k 0 2 ( n 2 2 − n 1 2 sin 2 θ ) . k_z^2 = k_0^2\left(n_2^2 - n_1^2\sin^2\theta\right). k z 2 = k 0 2 ( n 2 2 − n 1 2 sin 2 θ ) .
n 1 sin θ < n 2 n_1\sin\theta < n_2 n 1 sin θ < n 2 k z k_z k z n 1 sin θ > n 2 n_1\sin\theta > n_2 n 1 sin θ > n 2 sin θ c = n 2 / n 1 \sin\theta_c = n_2/n_1 sin θ c = n 2 / n 1 k z = i κ k_z = i\kappa k z = iκ κ = k 0 n 1 2 sin 2 θ − n 2 2 \kappa = k_0\sqrt{n_1^2\sin^2\theta - n_2^2} κ = k 0 n 1 2 sin 2 θ − n 2 2
E 2 ∝ e i ( k x x − ω t ) e − κ z E_2 \propto e^{i(k_xx-\omega t)}\,e^{-\kappa z} E 2 ∝ e i ( k x x − ω t ) e − κ z
で、境界に沿っては進むが奥へは指数関数的に減衰する。これをエバネッセント波と呼び、染み込む深さ 1 / κ 1/\kappa 1/ κ
③ エネルギーは全部戻る。 エバネッセント波では z z z 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ z z z r = n 1 cos θ − n 2 cos θ 2 n 1 cos θ + n 2 cos θ 2 r = \dfrac{n_1\cos\theta - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta + n_2\cos\theta_2} r = n 1 cos θ + n 2 cos θ 2 n 1 cos θ − n 2 cos θ 2 n 2 cos θ 2 = k z / k 0 n_2\cos\theta_2 = k_z/k_0 n 2 cos θ 2 = k z / k 0 r = ( a − i b ) / ( a + i b ) r = (a-ib)/(a+ib) r = ( a − ib ) / ( a + ib ) ∣ r ∣ = 1 |r| = 1 ∣ r ∣ = 1
④ 電子で見ると。 媒質2の電子もエバネッセント場で揺さぶられているが、その出し直す波が奥へ進む成分を打ち消し、反射方向へだけ足し合わさる。屈折の補足で見た「重ね合わせ」が、全反射では「奥へは打ち消し、手前へは強め合う」形で現れる。
補足：染み出した波は捕まえられる（全反射の阻害）
媒質2の厚さが波長程度しかなく、その先にまた屈折率の高い媒質を置くと、エバネッセント波がそこに届き、光の一部が通り抜ける。これは量子力学のトンネル効果と同じ数学である（指数関数的に減衰する解が、薄い障壁の先で再び伝わる解につながる）。プリズムを2つ近づけたビームスプリッタや、指紋センサー・全反射蛍光顕微鏡（TIRF）がこの性質を使っている。