四分位数と順序統計量 — 「3つ選んで小さい順に並べる」と四分位が一致する理由

問いは木下が出したもので、答えは Claude Code と調べて書いたものです。

2026-09-23 の会話（「4n+3 項の等差数列から3つをランダムに選ぶと、その期待値が第一・第二・ 第三四分位になる」という話題）を骨組みに、裏を取って再構成した教材。噂として聞いた主張が どこまで正しいのか、どう一般化すると正しい定理になるのか、正規分布や他の対称分布では何が 残って何が壊れるのかを一本の筋で書く。検証スクリプトは 四分位数と順序統計量/四分位_基本照合・同/理論検証・同/補遺 に置いた（すべて全列挙の厳密計算か数値積分で、モンテカルロは検算にしか使っていない）。

組版した TeX 版（26頁・図6枚・例題5題）が 四分位数と順序統計量/四分位数と順序統計量 にある（2026-09-23 作成）。証明を定理・命題の形で書き下し、例題と完全解答、重要度バッジ、 参考文献を加えてある。この md は調査の一次記録で、読み物として通すなら TeX 版のほうがよい。

0. 結論の地図

聞いた話は正しい。しかも 4n+3 という条件は必要ではなく、主張はもっと広い定理の特別な場合 である。全体像は3層に分かれる。

木下が聞いたのは③の層の話で、そこが目を引くのは「期待値が分数にならず、元の数列の項に ぴったり乗る」からである。しかし③は②の系にすぎず、②の本質は①にある。そして四分位という 定義が自然に見える理由も、突き詰めると①に行き着く。四分位はもともと確率スケール（累積確率 1/4, 2/4, 3/4）で定義された量であり、①はその確率スケールの等分が標本のサイズに依らず 成り立つと言っている。等差数列で値スケールの等式②まで綺麗に成り立つのは、一様分布の分位関数 $F^{-1}$ が直線だから、確率の等分がそのまま値の等分に移るという、ただそれだけの事情である。

木下の言い方（「真ん中のやつを外して真ん中をとる」）も、実は③と同じ事実の別の見え方であり、 §2 でそれを確かめる。

1. 離散版 — 主張の厳密化と証明

1.1 主張

1 から $N$ までの整数（一般の等差数列でもよい。期待値は線形なので初項と公差は素通りする）から 非復元で $m$ 個を選び、小さい順に $X_{(1)} < X_{(2)} < \cdots < X_{(m)}$ と並べる。このとき

$$E[X_{(k)}] = k(N+1)/(m+1) \qquad (k = 1, \dots, m)$$

が成り立つ。$m = 3$ と置けば $E[X_{(k)}] = k(N+1)/4$ で、$k = 1, 2, 3$ がそれぞれ「$N+1$ の 1/4, 2/4, 3/4」 の位置を指す。$N = 4n+3$ なら $N+1 = 4(n+1)$ なので、3つの期待値は $n+1, 2n+2, 3n+3$ という整数に なり、元の数列の項と一致する。これが聞いた話の正体である。

四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (1) で、$N = 2\ldots12$・$m = 1\ldots6$・$k = 1\ldots m$ の全組み合わせについて、 全列挙した厳密な有理数と公式を照合し、すべて一致することを確認した。

1.2 証明（間隙の対称性）

選ばれた $m$ 個が $N$ 個の並びを $m+1$ 個の隙間に切り分ける、と見るのが一番早い。

$$G_0 = X_{(1)} - 1, \quad G_i = X_{(i+1)} - X_{(i)} - 1 \ (i = 1, \dots, m-1), \quad G_m = N - X_{(m)}$$

と定義すると、これらは選ばれなかった $N - m$ 個の分配であり、$G_0 + G_1 + \cdots + G_m = N - m$ を満たす。 ここで $N+1$ 個の位置を円環に並べて $m+1$ 個を選び、そのうち1つを「切れ目」と決めて直線に開く、 という見方をすると、$m+1$ 個の隙間は回転対称なので同分布になる。よって

$E[G_i] = (N-m)/(m+1)$　（すべての $i$ について同じ）

が言える。$X_{(k)} = k + G_0 + G_1 + \cdots + G_{k-1}$ だから

$$E[X_{(k)}] = k + k(N-m)/(m+1) = k(m+1+N-m)/(m+1) = k(N+1)/(m+1)$$

となる。証明のどこにも「$N$ が 4 で割って 3 余る」は現れない。証明が使っているのは隙間の交換可能性 だけであり、これが主張の本当の中身である。

1.3 非復元であることは本質的

同じ数を2回選んでよい（復元抽出）と話は壊れる。$N = 7$, $m = 3$ で実際に計算すると、非復元なら $(2, 4, 6)$ ときれいに揃うのに対し、復元だと $(16/7, 4, 40/7) \approx (2.29, 4, 5.71)$ となり、両端が 中央へ寄る。復元抽出では同じ値が重複して「並べ替えると差が詰まる」ので、両端の期待値が内側へ 食い込むためである。中央値だけは対称性から 4 のまま動かない。

2. なぜ N = 4n+3 が「真ん中を外して真ん中」と噛み合うのか

木下の言った操作、つまり「中央値を取り、その中央値を外して左右の半分に分け、各半分でまた 中央値を取る」を再帰と見て、$N = 4n+3$ で実行してみる。$N = 4n+3$ は奇数なので中央値は $2n+2$ 番目の 項そのもので、これを外すと左右にちょうど $2n+1$ 項ずつ残る。$2n+1$ もまた奇数なので、それぞれの 中央値も項そのものであり、位置は $n+1$ と $3n+3$ になる。これは §1 の $E[X_{(k)}] = k(n+1)$ と完全に 一致する。

つまり $N \equiv 3 \pmod{4}$ は「2回続けて奇数個に割り切れる」ための条件であって、四分位の定義が そこで特別になるわけではない。この構造は深さ方向に一般化できる。四分位数と順序統計量/四分位_補遺 の (A) で、深さ $d$ の再帰（$2^d$ 分位、つまり $m = 2^d - 1$ 個の抽出に対応）と公式 $k(N+1)/(m+1)$ を突き合わせた。

いずれも「$N+1$ が $2^d$ で割り切れる」という同じ条件である。四分位の $4n+3$ は $d = 2$ の場合にすぎない。 なお $N$ がこの条件を外れると、再帰の結果は期待値と一致しなくなる（$d = 2$ では 3〜79 の範囲で 38 個の $N$ が不一致で、これは偶数の $N$ すべてに当たる）。偶数のときに半分の切り方が曖昧になり、流儀が 割れるという、四分位の定義論争そのものがここに顔を出している。

3. 世の中の四分位の定義と照合する

四分位の定義は一つではない。numpy が 9 種類、R が同じ 9 種類（Hyndman–Fan の type 1〜9）を 実装しており、高校数学 I の定義や Tukey のヒンジも別物である。$E[X_{(k)}] = k(N+1)/4$ とどの流儀が 一致するのかを $N = 3\ldots31$ で総当たりした（四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (2)）。

読み取れることが3つある。

第一に、期待値と常に一致する唯一の流儀は Weibull（type 6）である。これは偶然ではなく、 type 6 の定義が「位置 $p(N+1)$」そのもので、公式 $k(N+1)/4$ と字面から同じだからである。水文学や 信頼性工学で使われる Weibull プロッティング位置 $k/(N+1)$ は、まさに「順序統計量の期待値が累積確率 のどこに来るか」という §4 の①から導かれたもので、ここで話が繋がる。

第二に、高校の定義は $N$ が奇数である限り常に期待値と一致する。$N = 2m+1$ のとき下半分は $m$ 個で、 その中央値は $(m+1)/2 = (N+1)/4$ になるからである。$4n+3$ だけが特別なのではなく、$4n+1$ でも一致する （ただし値は半整数になり、元の項には乗らない。$N = 5$ なら 3/2, 3, 9/2）。日本の高校が採用している 「中央値を除いて半分の中央値」という素朴な定義は、この意味で期待値として正しい位置を指している。

第三に、Tukey のヒンジは一度も一致しない。奇数個のとき中央値を両方の半分に含めるので、 ヒンジが中央へ寄りすぎるためである。箱ひげ図の元祖である Tukey の流儀が期待値の意味では外れる、 というのは少し意外な結果だが、Tukey は手計算での書きやすさを優先していたので筋は通っている。

4. 連続分布へ — 何が普遍で、何が一様分布固有か

4.1 普遍に残るもの（確率スケール）

$F$ を連続な累積分布関数とし、$m$ 個を独立に抽出する。確率積分変換により $F(X)$ は $U(0,1)$ に従い、 順序を保つ変換なので $F(X_{(k)}) = U_{(k)}$ となる。一様分布の順序統計量は Beta 分布に従い

$$U_{(k)} \sim \mathrm{Beta}(k, m-k+1), \quad E[U_{(k)}] = k/(m+1)$$

だから、どんな連続分布でも $E[F(X_{(k)})] = k/(m+1)$ が成り立つ。$m = 3$ なら 1/4, 2/4, 3/4 である。 四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (3) で、正規・指数・対数正規・$t(2)$・U字型 $\mathrm{Beta}(1/2,1/2)$・ 歪んだ $\mathrm{Beta}(2,5)$ の6分布について 40 万回の抽出で確かめ、いずれも 0.25, 0.50, 0.75 に乗ることを 確認した。歪んでいようが裾が重かろうが、3点を抽出すれば、その3点は分布の確率質量を平均的に 4等分する。これが「四分位の定義は自然だ」と言えるための、分布によらない根拠である。

4.2 壊れるもの（値スケール）

値そのものの期待値は

$$E[X_{(k)}] = E[F^{-1}(U_{(k)})] = \int_0^1 F^{-1}(u) \cdot \frac{m!}{(k-1)!(m-k)!} \cdot u^{k-1}(1-u)^{m-k}\, du$$

で、これが四分位 $F^{-1}(k/4)$ と一致するのは $F^{-1}$ が線形のとき、すなわち一様分布のときに限られる。 一般には $E[F^{-1}(U_{(k)})] \neq F^{-1}(E[U_{(k)}])$ であり、両者のずれはイェンセンの不等式が支配する。 $F^{-1}$ が該当領域で凸なら期待値が四分位より外側へ、凹なら内側へずれる。

数値積分の結果を並べる（四分位数と順序統計量/四分位_基本照合）。

4.3 対称分布で残るのは中央値だけ

表の中段を見ると、対称な分布（三角・半円・余弦・正規・ロジスティック・ラプラス・t・Beta(1/2,1/2)） では $E[X_{(2)}]$ が常に真の中央値と一致する。これは $X_{(2)}$ の分布が分布の中心について対称に なるからで、$m$ が奇数なら常に成り立つ。「3つ選んで真ん中を取る」という操作は、対称分布に対して 中央値の不偏推定になっている。

一方で $E[X_{(1)}]$ と $E[X_{(3)}]$ は対称性だけでは救われない。対称性は中央値の周りの符号を揃える だけで、$F^{-1}$ の曲がり方までは制御しないからである。裾が重いほど最大値・最小値は外へ引っ張られ、 $t(2)$ では $E[X_{(3)}] = 1.666$ に対し $Q_3 = 0.817$ と 2 倍以上の開きが出る。逆に U 字型の $\mathrm{Beta}(1/2,1/2)$ では内側へずれる（$E[X_{(3)}] = 0.804 < Q_3 = 0.854$）。質量が両端に張り付いている分布では、 3点のうち最大のものは端まで行かないことが多く、期待値が $Q_3$ に届かないためである。

4.4 ずれの向きは分位関数の凸性で決まる

上の観察を対称 Beta(a, a) 族で系統的に確かめた（四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (5)）。

符号は $F^{-1}$ の凸凹と完全に対応しており、イェンセンの不等式の予想どおりである。さらに $a$ について方程式 $E[X_{(3)}] = Q_3$ を数値的に解くと $a = 1.000000$ のみが解で、対称 Beta 族の中では 一様分布が唯一であることも確認した。

ただし「値スケールの一致は一様分布に限る」と言い切ると言い過ぎになる。非対称な分布を許せば、 3つの等式のうち1つだけが偶然成り立つ分布はいくらでも作れる。たとえば $\mathrm{Beta}(1.5, 1.1503)$ は $E[X_{(3)}] - Q_3$ が機械精度でゼロだが、$E[X_{(1)}] - Q_1 = -0.0229$ と $E[X_{(2)}] - Q_2 = -0.0101$ は外れる （四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (6)）。正しい言明は「3つ同時に一致するのは一様分布」である。

4.5 正規分布の閉じた形

正規分布については閉形式が知られている。3個の標準正規変量の最大値の期待値は

$$E[X_{(3)}] = 3/(2\sqrt{\pi}) = 0.8462843753\ldots$$

で、数値積分と 10 桁一致し、200 万回のモンテカルロでも 0.8458 と合う。一方 $Q_3 = \Phi^{-1}(0.75) = 0.6744897502$ なので、比は $E[X_{(3)}]/Q_3 = 1.2547$ である。言い換えると、3点の最大値の期待値は 正規分布の 75 パーセンタイルではなく、$\Phi(0.8463) = 80.1$ パーセンタイルに位置する。この 5 パーセンタイルぶんのずれが、一様分布を離れた瞬間に生じる誤差の大きさである。

5. 副産物 — レンジとジニ平均差の恒等式

3点抽出では、最大と最小の期待値の差に簡潔な表現がある。$X_{(3)}$ の密度と $X_{(1)}$ の密度の差が $3u^2 - 3(1-u)^2 = 3(2u-1)$ となることから

$$E[X_{(3)}] - E[X_{(1)}] = 3\int_0^1 F^{-1}(u)(2u-1)\, du = \frac{3}{2}\cdot\mathrm{GMD}$$

が導かれる。ここで $\mathrm{GMD} = E|X_1 - X_2| = 2\int_0^1 F^{-1}(u)(2u-1)\, du$ はジニ平均差、つまり独立な 2標本の差の絶対値の期待値である。四分位数と順序統計量/四分位_理論検証 の (4) で 8 分布について 数値的に確認し、すべて一致した。

この量を四分位範囲 IQR と比べると、分布の裾の重さを測る指標になる。

一様分布でちょうど 1 になり、裾が重くなるほど大きくなる。この比は「3点の広がりが四分位範囲の 何倍か」を測っており、正規分布なら 1.25 倍である。

6. 実用上の帰結

6.1 プロッティング位置の選び方

Q-Q プロットでは $k$ 番目の順序統計量を累積確率 $p_k$ に対応づけて描く。この $p_k$ の選び方には 流儀があり、§4.1 の①から素直に出るのは Weibull の $k/(n+1)$ である。しかし Q-Q プロットで 本当に欲しいのは $E[X_{(k)}]$ であって $E[F(X_{(k)})]$ ではない。正規分布に対しては $F^{-1}$ が非線形なので、 $k/(n+1)$ を使うと端が合わなくなる。四分位数と順序統計量/四分位_補遺 の (C) で最小値の期待値と各流儀を 比べた。

正規分布に対しては Blom の位置が $n = 20$ で 4 桁目まで合っており、R の qqnorm が Blom を 既定に採っている理由がここにある（$n \le 10$ では Blom を使う）。確率スケールの等分が欲しいなら Weibull、値スケールで正規の期待値に合わせたいなら Blom、と使い分けるのが正しい。

6.2 推定量としての性能

「3点しかないとき、真の $Q_3$ を推定するのに最大値 $X_{(3)}$ を使ってよいか」を 40 万回の抽出で調べた （四分位数と順序統計量/四分位_補遺 の (D)）。

一様分布では最大値が無バイアスかつ RMSE も小さく、理論どおりである。しかし正規・指数では 最大値のバイアスが大きく、RMSE でも type 7 の補間に負ける。「3点の順序統計量が四分位だ」と いう美しい対応は、推定の実務としてはそのまま使えない。

6.3 「1/4」は平均であって中央値ではない

最後に一つ注意がある。$F(X_{(k)}) \sim \mathrm{Beta}(k, 4-k)$ の平均は $k/4$ だが、中央値は違う （四分位数と順序統計量/四分位_補遺 の (B)）。

$X_{(1)}$ が典型的に居るのは 20.6 パーセンタイルであり、最頻的には 0 パーセンタイル（分布の左端） である。つまり**「3点を選ぶと 25, 50, 75 パーセンタイルに来る」という言い方は、平均を取って はじめて正しくなる**。この違いを意識しないと、少数標本での議論を誤る。§6.1 で Blom などの プロッティング位置が競合するのも、結局は「平均で合わせるか、中央値で合わせるか」という選択の 問題である。

7. まとめ

聞いた話は正しく、証明も難しくない。整理し直すとこうなる。

1. 等差数列 $N$ 項から $m$ 個を非復元抽出すると、$E[X_{(k)}] = k(N+1)/(m+1)$ が成り立つ。証明は 「選ばれなかった項が作る $m+1$ 個の隙間が交換可能である」ことだけを使う。
2. $m = 3$ のとき右辺は $k(N+1)/4$ で、$N = 4n+3$ なら整数になって元の項に乗る。$4n+3$ という条件は 「2回続けて奇数個に割れる」ための条件であり、木下の言う「真ん中を外して真ん中をとる」という 再帰が2段とも綺麗に決まる場合にほかならない。八分位なら $8n+7$、十六分位なら $16n+15$ と続く。
3. 世の四分位の定義のうち、この期待値と常に一致するのは Weibull（type 6）だけである。日本の 高校数学 I の定義は $N$ が奇数のときすべて一致する。Tukey のヒンジと numpy の既定である type 7 は一度も一致しない。
4. 連続分布へ移すと、確率スケールの主張 $E[F(X_{(k)})] = k/4$ は分布形に依らず普遍に成り立つ。 四分位という定義が自然に見える根拠はここにある。
5. 値スケールの一致は一様分布（＝等差数列）に固有である。対称分布では中央値だけが救われ、 両端は裾の重さに応じて外（裾が重い）か内（U 字型）へずれる。正規分布では $E[X_{(3)}] = 3/(2\sqrt{\pi}) = 0.846$ で、これは 75 でなく 80.1 パーセンタイルにあたる。
6. 副産物として $E[X_{(3)}] - E[X_{(1)}]$ = (3/2)・ジニ平均差という恒等式が出る。これを IQR で割った値は 一様で 1、正規で 1.25、ラプラスで 1.62 と、裾の重さの指標になる。

結局のところ、「四分位の定義は自然だ」という直観は正しいが、その自然さが宿っているのは 値の等分ではなく確率の等分のほうである。等差数列という一様な土俵の上では両者が一致するので、 値スケールの偶然の綺麗さ（4n+3）が目に飛び込んでくる。土俵を正規分布に移した瞬間に値スケールの 等式は崩れ、確率スケールの等式だけが残る。この残ったほうが定義の本体である。

参考

• Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996) "Sample Quantiles in Statistical Packages", The American Statistician 50(4), 361–365. 四分位の 9 種類の定義（type 1〜9）の出典で、numpy の method= と R の quantile(type=) はこの番号に対応する。
• David, H. A. & Nagaraja, H. N. (2003) Order Statistics, 3rd ed., Wiley. 順序統計量の 期待値・Beta 分布との関係・正規分布の閉形式の標準的な教科書。
• Blom, G. (1958) Statistical Estimates and Transformed Beta-Variables. プロッティング位置 (k − 3/8)/(n + 1/4) の出典。