和積公式と波のうなり

和積公式

$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

は三角関数の式変形の公式であるが、現実に耳で聞ける現象の説明にも用いることができる。振動数のわずかに異なる二つの音を同時に鳴らすと、音の大きさが周期的に強くなったり弱くなったりして聞こえる。この現象をうなりという。本稿では、音を表す式を用意したうえで、和積公式からうなりの式を導く。

1. 波を正弦波で表す

横軸を位置 $x$、縦軸をその点での変位 $y$ とする。なめらかに山と谷をくり返す波は、近似的に$y=\sin x$ とみなすことができる¹1厳密には、周期 $T$ の波は $y=A\sin\!\big(\dfrac{2\pi}{T}x\big)$ と表される。さらに一般の周期関数は、いろいろな周期の正弦波・余弦波の和として表すことができる（フーリエ展開）。本稿では簡単のため、周期を $2\pi$ とした最も単純な正弦波 $y=\sin x$ を用いる。下の脚注へ閉じる。振幅（山の高さ）を $A$ とすれば $y=A\sin x$ となり、$A$ が大きいほど波は大きく振れる。

図1　正弦波 $y=\sin x$。山と谷を1回ずつ含む長さ（波長）は $2\pi$

2. 音は媒質の振動であり、時間について正弦波で表される

音は、空気などの媒質が振動して伝わる現象である。媒質の一点に注目すると、その変位は時間 $t$ とともに正弦波の形で振動する。$1$ 秒あたりの振動の回数を振動数 $f$ とすれば、その変位は

と表される（$\sin$ で表しても $\cos$ で表してもよい²2$\sin$ と $\cos$ は、$\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta$ のように一方を横（角度）方向に平行移動すると他方にぴたりと重なる、同じ形の曲線である。だから変位を $\sin$ で書くか $\cos$ で書くかは、時間 $t$ をどの瞬間から測りはじめるか（時間の原点の取り方）の違いにすぎず、どちらで表してもよい。本稿では$t=0$ で変位が最大（$\cos 0=1$）になる瞬間を時間の原点に選んだので $\cos$ を用いた。厳密には、原点をどこにとるかに応じて $y=\cos(2\pi f t+\varphi)$ のように角度に定数 $\varphi$（初期のずれ）が加わるが、本稿では簡単のため $\varphi=0$ とした。下の脚注へ閉じる）。

なぜこの式で $f$ がちょうど「$1$ 秒あたりの振動数」になるのかを確かめよう。$\cos$ は、角度が $2\pi$ 増えるごとにちょうど $1$ 回もとの値にもどる（＝$1$ 振動する）。いま角度は $2\pi f\,t$ なので、時間 $t$ を$1$ 秒だけ進めると、角度は

$$2\pi f\,(t+1)-2\pi f\,t=2\pi f$$

だけ増える。これは $2\pi$ の $f$ 倍、つまり $1$ 秒のあいだに振動がちょうど $f$ 回起きることを意味する。こうして、角度を $2\pi f\,t$ と取ったことで、$f$ が狙いどおり$1$ 秒あたりの振動数になっていることが確かめられた。$f$ が大きいほど速く振動し、高い音として聞こえる。

このことは、既に学んだグラフの拡大・縮小からも見てとれる。変位を時間 $t$ の関数 $\cos(2\pi f t)$ と見ると、振動数を $2f$ にすることは、$t$ を $2t$ に置きかえること、すなわち関数 $g(t)$ を $g(2t)$ にすることにあたる。$g(2t)$ のグラフは $g(t)$ のグラフを横方向に $\dfrac12$ 倍に縮めたものであったから、同じ時間の中に山と谷が$2$ 倍細かく詰まる。これが「振動数が大きいほど速く振動する」ことの中身である。

媒質が実際に動くようすと、その変位を時間について記録した軌跡（正弦波）を重ねると、両者の対応が見やすい。

3. 二つの音の重ね合わせと和積公式

二つの音を同時に鳴らすと、媒質の変位はそれぞれの変位の和になる。これを重ね合わせという。二つの音の振動数を $f_1,\,f_2$ とすれば、注目する点の変位は

$$y=\cos(2\pi f_1 t)+\cos(2\pi f_2 t)$$

である。ここで和積公式を $A=2\pi f_1 t,\ B=2\pi f_2 t$ として適用すると、

を得る。二つの余弦の積の形になった。この右辺の二つの因子のうち、左の因子が「音の大きさ」を、右の因子が「音の高さ」を担う。

4. うなりの振動数と音の高さ

$f_1$ と $f_2$ がほぼ等しい場合を考える。$f_1=f,\ f_2=f+\delta$（$\delta$ は小さい正の数）とおくと、$\dfrac{f_1-f_2}{2}=-\dfrac{\delta}{2}$ だが、$\cos(-\theta)=\cos\theta$ により符号は外せるので、上の式は

$$y=2\cos\!\Big(2\pi\frac{\delta}{2}\,t\Big)\,\cos\!\Big(2\pi\Big(f+\frac{\delta}{2}\Big)t\Big)$$

となる。右の因子は振動数 $f+\dfrac{\delta}{2}$ で速く振動する部分であり、これが聞こえる音の高さを与える。ここで $\delta$ は二つの音の振動数の差でごく小さいから、$f+\dfrac{\delta}{2}$ はもとの振動数 $f$ とほとんど変わらない。すなわち聞こえる音の高さは、もとの音の高さとほとんど同じである。一方、左の因子 $2\cos\!\big(2\pi\frac{\delta}{2}t\big)$ の振動数は $\dfrac{\delta}{2}$ である。§2 で見たように、振動数が小さいほど振動はゆっくりであった。$\delta$ が小さいぶん $\dfrac{\delta}{2}$ はさらに小さいから、この左の因子は、速い振動にくらべればほとんど止まって見えるほどゆっくりと変化する。この左の因子が、速い振動の振幅（＝音の大きさ）をゆっくり周期的に増減させる。この振幅の周期的な増減がうなりである。下図で、速い振動の山の先端をなぞる、このゆっくり変化する上限・下限の曲線を包絡線という（左の因子 $\pm 2\cos\!\big(2\pi\frac{\delta}{2}t\big)$がそれにあたる）。

では、うなりは $1$ 秒あたり何回くり返されるだろうか。音の大きさ（うるささ）は、変位が $0$ からどれだけ大きく振れるかで決まる。すなわち、上の図の包絡線の絶対値 $\bigl|2\cos\!\big(2\pi\frac{\delta}{2}t\big)\bigr|$ で決まる。ここで注意したいのは、包絡線が正の山にふくらむとき（変位が大きく $+$ に振れる）も、負の谷にふくらむとき（大きく$-$ に振れる）も、どちらの瞬間も音は大きく聞こえることである。つまり音が大きくなる瞬間は、包絡線の $\cos$が $1$ 回振動するあいだに、山と谷で$2$ 回おとずれる。

したがって、音の大小がくり返される回数（うなりの回数）は、包絡線の振動数 $\dfrac{\delta}{2}$ のちょうど $2$ 倍で、$\delta=|f_1-f_2|$ に注意すると、$1$ 秒あたり

となる。たとえば $440\,\mathrm{Hz}$ と $442\,\mathrm{Hz}$ の音（$\mathrm{Hz}$ は「回$/$秒」の単位で、$440\,\mathrm{Hz}$ は$1$ 秒に $440$ 回振動する音）では、$|440-442|=2$ より毎秒 $2$ 回うなる。$f_1=f_2$ のときはうなりが生じない。楽器の調律は、うなりが消えるように二つの音を合わせる操作である。

最後に、なぜ「うなり」として耳に届くのかをもう一度まとめておこう。二つの近い音を重ねた合成波は、〈速い振動〉の振幅が〈ゆっくりの包絡線〉に沿って伸び縮みする形になっている。速い振動の振動数（＝音の高さ）は $f+\frac{\delta}{2}$ でもとの $f$ とほとんど変わらないから、音の高さは保たれたままである。変わるのは、その速い振動の振幅、すなわち音の大きさだけであり、これが包絡線に沿って周期的に大きくなったり小さくなったりする。この「高さはそのままで、大きさだけが周期的に強くなったり弱くなったりする」ことこそが、耳に聞こえるうなりの正体である。

塾の授業で配った補足資料をもとに書き直しました。

この記事が含まれている連載

連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴