場の量子論と統計力学の対応表

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7部第6章虚時間と統計力学

AI 生成・木下が未勉強

場の量子論入門　第7部第6章 §7.6.5　★★ 統計力学で習った量が、そのまま場の量子論の量になる

以上の対応をまとめる。左列は $d$ 次元空間の場の量子論（虚時間を入れて $d+1$ 次元 Euclid 化したもの）、右列は $d+1$ 次元の古典統計力学である。

場の量子論（Euclid 化）	統計力学
経路積分の重み $\mathrm{e}^{-S_E[\phi]}$	Boltzmann 因子 $\mathrm{e}^{-\beta \mathcal{E}[\phi]}$
生成汎関数 $Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\,\mathrm{e}^{-S_E+\int J\phi}$	外場 $J$ の下の分配関数 $Z(J)$
$\hbar$ （量子的な揺らぎの大きさ）	$k_BT$ （熱的な揺らぎの大きさ）
$W[J]=\ln Z[J]$	自由エネルギー $-\beta F$
有効作用 $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ （Legendre 変換）	Gibbs 自由エネルギー
2 点相関 $\langle 0 \| \mathrm{T}\!\left\{\phi\phi\right\} \| 0 \rangle$	相関関数 $\langle \phi(\bm{x})\phi(\bm{y}) \rangle$
質量 $m$	逆相関長 $1/\xi_{\rm corr}$ （ $\mathrm{e}^{-m\|x\|}$ の減衰率）
質量ゼロの場（長距離相関）	臨界点（相関長の発散）
くりこみ群の流れ	臨界指数とスケーリング則
真空（基底状態）	平衡状態
虚時間の周期 $\beta$	逆温度 $1/k_BT$
場の対称性の自発的破れ	秩序変数の出現（強磁性など）

この対応は形式的な類似ではなく、同じ数学が両方の分野で使われていることを意味する。くりこみ群がもともと臨界現象の理論として Wilson によって整備され、それが場の量子論の発散の理解を一変させたのは、この辞書があったからである。統計力学で扱った Ising 模型の相転移と、第6部で見た結合定数の走りは、Euclid 経路積分では同じ操作の二つの現れである。

この部で得たもの

経路積分は、正準量子化と同じ物理を演算子なしで書く言葉である。生成汎関数 $Z[J]$ を一度作れば、 $J$ 微分だけで相関関数が出て、Wick の定理は Leibniz 則になり、対称因子は $1/4!$ の消え残りとして決まる。Grassmann 数を導入すればフェルミオンが扱え、行列式の位置の反転がループの $(-1)$ を与える。ゲージ理論では Faddeev–Popov の恒等式ひとつでゴーストまで導け、虚時間へ回せば統計力学と格子計算に直結する。ここから Peskin 第 9 章以降・Srednicki・格子場の理論へ進める。

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