格子場の理論とモンテカルロ計算への橋

場の量子論入門　第7部 第6章 §7.6.4　★ Euclid 化して初めて数値計算ができる。摂動論に頼らない唯一の方法

Euclid 化した経路積分の重み $\mathrm{e}^{-S_E}$ は正の実数である。時空を有限の格子（間隔 $a$、体積 $L^4$）に離散化すれば、積分変数の個数が有限になり、経路積分は有限次元の多重積分になる。そこで $\mathrm{e}^{-S_E}/Z$ を確率分布と見なし、Markov 連鎖モンテカルロ法で配位を生成して物理量の期待値を推定できる。これが格子場の理論である。実時間の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S}$ は絶対値が 1 の複素数なので確率分布として使えず、この手法は Euclid 化して初めて成立する。

格子場の理論が重要なのは、これが摂動論に頼らずに場の量子論を計算する方法だからである。QCD の結合定数は低エネルギーで大きくなる（第6部 の走る結合）ため、陽子や中間子の質量、閉じ込め、カイラル対称性の自発的破れは Feynman 図の展開では扱えない。格子計算はこれらを第一原理から得る唯一の手段で、陽子質量の計算値が実験値と数パーセントで一致することは QCD が正しい理論であることの強い証拠になっている。ただし有限の化学ポテンシャル（バリオン密度が有限な系）では $S_E$ が複素数になり $\mathrm{e}^{-S_E}$ が正の重みでなくなる。これを符号問題と呼び、中性子星内部のような高密度クォーク物質を第一原理計算できない理由になっている。