ボゾンは周期、フェルミオンは反周期

(i) 状態を数える。フェルミオンは $\left\{b,\,b^\dagger\right\}=1$、$b^2=0$ から占有数が $0$ か $1$ に限られ、$H=\omega b^\dagger b$ の固有値は $\{0,\omega\}$ である（第4部 の検算済みの事実）。よって

$$Z_F=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta H}=\mathrm{e}^{0}+\mathrm{e}^{-\beta\omega}=1+\mathrm{e}^{-\beta\omega}.$$

ボゾンは占有数 $n=0,1,2,\dots$ が制限なく許され、$H=\omega a^\dagger a$ の固有値は $n\omega$ なので等比級数の和から

$$Z_B=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\beta\omega n}=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\beta\omega}}.$$

どちらも検算済みの結果である。

(ii) Matsubara 振動数の積。Euclid 作用が 2 次形式なので、経路積分は Gauss 積分であり、ボゾンでは固有値の積の $-1$ 乗（複素変数の場合）、フェルミオンでは $+1$ 乗が出る（第 4 章）。1 モードの Euclid 作用の固有値は $\omega_n^2+\omega^2$ である。ボゾンでは $\omega_n=2\pi n/\beta$ を使い、$n$ と $-n$ を組にして

$$\prod_{n\in\mathbb{Z}}(\omega_n^2+\omega^2) \ \propto\ \prod_{n=1}^{\infty}\Bigl[1+\Bigl(\frac{\beta\omega}{2\pi n}\Bigr)^{2}\Bigr] =\frac{\sinh(\beta\omega/2)}{\beta\omega/2}$$

となる（無限積の公式 $\sinh z=z\prod_{n\ge1}(1+z^2/n^2\pi^2)$ を使った。$n$ に依存しない全体因子は温度に依らない規格化に吸収する）。したがって

$$Z_B\ \propto\ \frac{1}{\sinh(\beta\omega/2)} =\frac{2\mathrm{e}^{-\beta\omega/2}}{1-\mathrm{e}^{-\beta\omega}} .$$

指数因子 $\mathrm{e}^{-\beta\omega/2}$ はゼロ点エネルギー $\omega/2$ の寄与であり、これを規格化で落とせば (i) の結果に一致する。

フェルミオンでは $\omega_n=(2n+1)\pi/\beta$ を使い、行列式が分子に来るので

$$Z_F\ \propto\ \prod_{n\ge0}\Bigl[1+\Bigl(\frac{\beta\omega}{(2n+1)\pi}\Bigr)^{2}\Bigr] =\cosh\frac{\beta\omega}{2} =\frac{\mathrm{e}^{\beta\omega/2}}{2}\bigl(1+\mathrm{e}^{-\beta\omega}\bigr)$$

となる（$\cosh z=\prod_{n\ge0}[1+4z^2/(2n+1)^2\pi^2]$）。ゼロ点の因子を落とせば $Z_F\propto1+\mathrm{e}^{-\beta\omega}$ であり、(i) と一致する。ボゾンとフェルミオンの違いが、行列式の位置（$\det$ か $\det^{-1}$ か）と境界条件（周期か反周期か）の 2 点だけで再現されていることが要点である。