周期的虚時間と分配関数

場の量子論入門　第7部 第6章 §7.6.2　★★ $Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta H}$ が周期境界条件の経路積分になる

分配関数の定義 $Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta H}$ を位置表示で書くと

$$Z=\int\!\mathrm{d} x\ \langle x | \mathrm{e}^{-\beta H} | x \rangle$$

である。ここで $\langle x | \mathrm{e}^{-\beta H} | x \rangle$ は、第 1 章の伝播振幅$\langle x_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i} HT} | x_i \rangle$ において $T=-\mathrm{i}\beta$（虚時間）とし、さらに $x_f=x_i=x$ と置いたものである。したがって

$$Z=\oint\!\mathcal{D}x\ \mathrm{e}^{-S_E[x]},\qquad S_E=\int_0^{\beta}\!\mathrm{d}\tau\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr]$$

と書ける。記号 $\oint$ は、経路が

$$x(0)=x(\beta)$$

という周期境界条件を満たすことを表す。始点と終点を同じ $x$ に取り、その $x$ について積分した（トレースを取った）ことが、経路を虚時間方向に閉じさせている。