Wick 回転と Euclid 作用

$t=-\mathrm{i}\tau$ より $\mathrm{d} t=-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau$、また

$$\dot x=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d} t} =\mathrm{i}\,\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau} \quad\Longrightarrow\quad \frac m2\dot x^2=-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2 .$$

これらを代入すると

$$\mathrm{i} S=\mathrm{i}\int(-\mathrm{i}\,\mathrm{d}\tau)\Bigl[-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2-V(x)\Bigr] =\int\!\mathrm{d}\tau\Bigl[-\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2-V(x)\Bigr] =-\int\!\mathrm{d}\tau\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr].$$

したがって

$$S_E=\int\!\mathrm{d}\tau\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}\tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr],\qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i} S}=\mathrm{e}^{-S_E}.$$

運動項とポテンシャル項の相対符号が反転して、$S_E$ は正定値な量（$V\ge0$ のとき）になる。実時間の Lagrangian が「運動エネルギーからポテンシャルを引いたもの」だったのに対し、Euclid の被積分関数は「運動エネルギーとポテンシャルの和」であり、形はエネルギーに似ている。この符号反転は、虚時間では粒子が逆さまのポテンシャル $-V$ の中を運動することと同じであり、トンネル効果を古典的な経路（インスタントン）として扱えるようになる理由でもある。