非可換ゲージ理論とゴースト場

場の量子論入門　第7部 第5章 §7.5.3　★ ゴーストは物理的粒子ではない。非物理的自由度を打ち消すために現れる

非可換ゲージ理論（Yang–Mills 理論）では、ゲージ場は群の添字を持ち $A_\mu=A_\mu^aT^a$ と書かれる。ゲージ変換は無限小のとき

$$A_\mu^a\ \longrightarrow\ A_\mu^a+\frac1g\partial_{\mu}\alpha^a+f^{abc}A_\mu^b\alpha^c =A_\mu^a+\frac1g\bigl(D_\mu\alpha\bigr)^a$$

であり、右辺に $A$ が現れる点が可換な場合との決定的な違いである（$f^{abc}$ は構造定数、$D_\mu$ は随伴表現の共変微分）。ゲージ条件を $G^a=\partial_{\mu} A^{a\mu}$ に取ると

$$\frac{\delta G^a(A^\alpha)}{\delta\alpha^b}=\frac1g\,\partial_{\mu}\bigl(D^\mu\bigr)^{ab}$$

となり、これは $A$ に依存する。したがって QED のように定数として括り出すことができない。

そこで第 4 章の結果を使う。行列式は Grassmann 積分として書けるので、

$$\det\bigl(\partial_{\mu} D^{\mu}\bigr)=\int\!\mathcal{D}\bar c\,\mathcal{D}c\ \exp\Bigl[\mathrm{i}\int\!\mathrm{d}^4x\ \bar c^a\bigl(-\partial_{\mu} D^{\mu}\bigr)^{ab}c^b\Bigr]$$

と、新しい場 $c^a(x)$、$\bar c^a(x)$ の経路積分に書き換える。この $c$ をFaddeev–Popov ゴーストと呼ぶ。

ゴーストは奇妙な性質を持つ。Lorentz 変換の下でスカラー（スピン $0$）でありながらGrassmann 数として反可換であり、スピン統計定理に反している。したがってゴーストは物理的な粒子ではない。実際、ゴーストは外線に現れずループの中にだけ登場する。その役割は、ゲージ場 $A_\mu^a$ が持つ 4 成分のうち物理的でない 2 つ（時間成分と縦波成分）を打ち消すことである。物理的な自由度は横波 2 成分だけなので $4-2=2$ の食い違いがあり、反可換であるがゆえに $(-1)$ を伴って寄与するゴーストがこれをちょうど埋め合わせる。ゴーストを入れずに計算すると、ユニタリ性（確率の保存）が破れて散乱断面積に負の確率が現れる。

可換な QED であれば、正準量子化の側でも Gupta–Bleuler の方法で処理できた。しかし非可換ゲージ理論では、ゲージ固定と行列式の扱いを正準形式で追うのは著しく煩雑になる。経路積分では恒等式を 1 個挿入するだけで処方が書き下せ、ゴーストの Lagrangian まで自動的に出る。標準模型の計算が実行可能なのは、この定式化があるからである。

強い相互作用を記述する量子色力学（QCD）は $SU(3)$ の Yang–Mills 理論にクォークを結合させたもの、電弱理論は $SU(2)\times U(1)$ のゲージ理論に Higgs 場を加えたものであり、どちらもこの枠組みの上に乗る。非可換ゲージ理論に固有の漸近自由性（$b_0=11-2n_f/3$、$n_f=6$ で $b_0=7>0$、検算済み）は、ゲージ場の自己相互作用とゴーストループの寄与を合わせて初めて正しい符号になる。第6部 の走る結合の議論は、この計算に支えられている。