Faddeev–Popov の処方

恒等式

$$1=\int_0^{2\pi}\!\mathrm{d}\alpha\ \delta\bigl(g(\bm{x}^{\alpha})\bigr)\,\Bigl|\frac{\partial g(\bm{x}^{\alpha})}{\partial\alpha}\Bigr|$$

を作る。実際 $g(\bm{x}^\alpha)=-x_1\sin\alpha+x_2\cos\alpha$ は $\alpha$ の関数として周期内に2 個の零点を持ち、$\delta$ 関数の公式から右辺は $1$ になる（零点 2 個のうち片方だけを数える約束にすれば$1$、両方数えれば $2$ で、以下ではどちらでも定数倍の違いにしかならない）。零点では $\bm{x}^{\alpha}$ が $x_1$ 軸上にあり、そこでの微分は

$$\frac{\partial g(\bm{x}^\alpha)}{\partial\alpha}=-x_1\cos\alpha-x_2\sin\alpha \quad\longrightarrow\quad \mp\,r,\qquad r=|\bm{x}| .$$

したがって $|\partial g/\partial\alpha|=r$ である。これを積分に挿入すると

$$I=\int_0^{2\pi}\!\mathrm{d}\alpha\int\!\mathrm{d}^2x\ \delta(g(\bm{x}^\alpha))\,r\,f(r).$$

被積分関数が回転不変なので、内側の積分は $\alpha$ に依らない（$\bm{x}\to\bm{x}^{-\alpha}$ と変数変換すればよい）。そこで $\alpha$ 積分は単に $2\pi$ という「回転群の体積」を出し、

$$I=2\pi\int\!\mathrm{d}^2x\ \delta(x_2)\,r\,f(r)=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d} x_1\,|x_1|f(|x_1|) =2\pi\int_0^{\infty}\!\mathrm{d} r\ r\,f(r)$$

となる。これは極座標変換の公式そのものである。ここで現れた因子 $r=|\partial g/\partial\alpha|$ がFaddeev–Popov 行列式に相当し、極座標の Jacobian と同じ役割を担っている。ゲージ理論で行うのは、この操作を無限次元で実行することだけである。

$S_{\rm gf}$ を部分積分でまとめると

$$S_{\rm gf}=\frac12\int\!\mathrm{d}^4x\ A^\mu\Bigl[\eta_{\mu\nu}\Box-\Bigl(1-\frac1\xi\Bigr)\partial_{\mu}\partial_{\nu}\Bigr]A^\nu$$

であり、運動量空間では $\partial_{\mu}\to-\mathrm{i} q_\mu$、$\Box\to-q^2$ から

$$O_{\mu\nu}(q)=-q^2\eta_{\mu\nu}+\Bigl(1-\frac1\xi\Bigr)q_\mu q_\nu .$$

伝播関数は $\mathrm{i} O^{-1}$ である。対称性から $(O^{-1})_{\nu\rho}=a\,\eta_{\nu\rho}+b\,q_\nu q_\rho$ と置き、$O^{\mu\nu}(O^{-1})_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho$ を課す。

$$\Bigl[-q^2\eta^{\mu\nu}+\Bigl(1-\tfrac1\xi\Bigr)q^\mu q^\nu\Bigr]\bigl[a\eta_{\nu\rho}+bq_\nu q_\rho\bigr] =-q^2a\,\delta^\mu_\rho+q^\mu q_\rho\Bigl[-q^2b+\Bigl(1-\tfrac1\xi\Bigr)a+\Bigl(1-\tfrac1\xi\Bigr)bq^2\Bigr].$$

$\delta^\mu_\rho$ の係数から $a=-1/q^2$。$q^\mu q_\rho$ の係数を $0$ と置くと

$$-\frac{q^2b}{\xi}+\Bigl(1-\frac1\xi\Bigr)\Bigl(-\frac{1}{q^2}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{1-\xi}{q^4}.$$

したがって

$$\mathrm{i}(O^{-1})_{\nu\rho}=\frac{-\mathrm{i}}{q^2}\Bigl[\eta_{\nu\rho}-(1-\xi)\frac{q_\nu q_\rho}{q^2}\Bigr].$$

$\xi=1$ とすると $q_\nu q_\rho$ の項が消えて $-\mathrm{i}\eta_{\nu\rho}/q^2$ となり、第5部 で用いた Feynman ゲージの伝播関数に一致する。$\xi\to0$ の Landau ゲージでは $q^\nu$ を掛けると $0$ になる（横波成分だけが伝播する）。ゲージ固定項を入れる前は $\det O=0$ で逆行列が存在しなかったのに対し、$1/\xi$ の項が零モードに質量に相当する寄与を与え、逆行列が定義できるようになった点が要である。