ゲージ場の経路積分が発散する理由

場の量子論入門　第7部 第5章 §7.5.1　★★ ゲージ軌道の上で被積分関数が一定だから、軌道の体積が丸ごと余分に掛かる

ゲージ場を素直に経路積分しようとすると、最初の一歩で行き詰まる。伝播関数が定義できないのである。原因はゲージ不変性そのものにあり、対処法として Faddeev と Popov が与えた処方は、非可換ゲージ理論ではゴーストという新しい場を要求する。経路積分の言葉が正準量子化より明らかに使いやすくなる最初の場面がここである。

自由な電磁場の作用 $S=-\frac14\int\mathrm{d}^4x\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ を部分積分でまとめると

$$S=\frac12\int\!\mathrm{d}^4x\ A^\mu\bigl(\eta_{\mu\nu}\Box-\partial_{\mu}\partial_{\nu}\bigr)A^\nu$$

となる。運動量空間では、括弧の中の演算子は

$$O_{\mu\nu}(q)=-q^2\eta_{\mu\nu}+q_\mu q_\nu$$

である。伝播関数を作るにはこれの逆行列が要るが、$O_{\mu\nu}q^\nu=-q^2q_\mu+q_\mu q^2=0$ なので、$O$ は $q^\nu$ という零モードを持ち、逆行列が存在しない。例題 2.1 の Gauss 公式が$(\det A)^{-1/2}$ を与えたことを思い出すと、$\det O=0$ は積分が発散することを意味する。

この零モードの正体はゲージ変換である。$A_\mu\to A_\mu+\partial_{\mu}\alpha$ は運動量空間で$A_\mu\to A_\mu-\mathrm{i} q_\mu\tilde\alpha$ という $q_\mu$ 方向のずらしであり、作用を変えない。つまり経路積分 $\int\mathcal{D}A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S}$ は、物理的に同一の配位（ゲージ変換で移り合う配位の集合、これをゲージ軌道と呼ぶ）の上で被積分関数が一定のまま積分を続けている。その結果、答えには「ゲージ群の体積」$\int\mathcal{D}\alpha$ という無限大が因子として掛かる。

図 　ゲージ軌道とゲージ固定面。縦線が 1 本の軌道（ゲージ変換で移り合う配位の集合）を表す。素朴な経路積分は各軌道を丸ごと積分してしまい、軌道の長さの分だけ無限大が出る。