Dirac 場の生成汎関数

場の量子論入門　第7部 第4章 §7.4.4　★★ ボゾンの $Z_0[J]$ と完全に平行な形になる

Dirac 場の源は Grassmann 数値の関数 $\eta(x)$、$\bar\eta(x)$ である（$\bar\psi \eta$ が偶数個のGrassmann 数の積になるようにするため、源も反可換でなければならない）。生成汎関数は

$$Z[\bar\eta,\eta]=\int\!\mathcal{D}\bar\psi \,\mathcal{D}\psi\ \exp\Bigl\{\mathrm{i}\int\!\mathrm{d}^4x\ \bigl[\bar\psi (\mathrm{i}\not\partial-m)\psi+\bar\eta\psi+\bar\psi \eta\bigr]\Bigr\}$$

である。例題 2.2 とまったく同じ手順（$\psi=\psi'-K^{-1}\eta$、$\bar\psi =\bar\psi '-\bar\eta K^{-1}$、ただし $K=\mathrm{i}\not\partial-m$）で平方完成すると

$$Z[\bar\eta,\eta]=Z[0,0]\ \exp\Bigl[-\int\!\mathrm{d}^4x\,\mathrm{d}^4y\ \bar\eta(x)\,S_F(x-y)\,\eta(y)\Bigr], \qquad S_F(p)=\frac{\mathrm{i}(\not p+m)}{p^2-m^2+\mathrm{i}\varepsilon}$$

を得る。ボゾンの $\exp[-\frac12\int JD_FJ]$ と比べると、係数 $\frac12$ が無い点だけが違う。$\frac12$ が消えるのは、$\psi$ と $\bar\psi$ が独立な場であって、実スカラー場のように「同じ場を 2 回使う」重複が生じないからである。相関関数は左微分の約束のもとで

$$\langle 0 | \mathrm{T}\!\left\{\psi(x)\bar\psi (y)\right\} | 0 \rangle =-\frac{1}{Z[0,0]}\frac{\delta^2Z}{\delta\bar\eta(x)\,\delta\eta(y)}\bigg|_{\bar\eta=\eta=0} =S_F(x-y)$$

と取り出せる。相互作用がある場合は第 3 章と同様に $\psi\to\delta/\delta\bar\eta$ の置き換えで摂動展開でき、QED の Feynman 則（第5部）が経路積分からも再現される。唯一の追加規則が、前節で導いた閉ループごとの $(-1)$ である。