変位電流と Maxwell 方程式

電磁気学入門　第8章 §8.1　★★★ Ampère の法則に $\varepsilon_0\partial\bm{E}/\partial t$ を足すと電荷の保存と矛盾しなくなり、4本の方程式が閉じる

第2章から第7章までで、電場と磁場の法則を1本ずつ集めてきた。

• 第2章の Gauss の法則：$\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon_0$。
• 第5章の2本：$\nabla\cdot\bm{B}=0$ と Ampère の法則 $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$。
• 第7章の Faraday の法則：$\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$。

このうち Ampère の法則だけは、定常電流を前提に導いたものだった。

この章では、まずこの前提を外すと Ampère の法則が電荷の保存と食い違うことを示し、Maxwell が足した変位電流の項でその食い違いが解消されることを確かめる。こうしてできる4本の方程式が Maxwell 方程式で、古典的な電磁気の現象はすべてこの4本と Lorentz 力の式から導かれる。

§8.1 で Maxwell 方程式を完成させる。§8.2 では2本の斉次の方程式を解いてスカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を導入し、ポテンシャルの選び方の自由度（ゲージ）を整理する。Coulomb ゲージと Lorenz ゲージの2つを扱い、後者ではポテンシャルが波動方程式に従うことを示す。

§8.3 と §8.4 では、場がエネルギーと運動量を運ぶことを示す。電荷に働く力がする仕事と力そのものを場だけで書き直すと、エネルギー密度と Poynting ベクトル、運動量密度と Maxwell 応力テンソルが現れ、それぞれが局所的な保存則を満たす。

前の章から借りる結果は次のとおりである。

• 第1章：§1.2 の Gauss の発散定理と Stokes の定理、§1.3 の Helmholtz の分解と Poisson 方程式の解

$$\nabla^2\Lambda=-s\quad\Longrightarrow\quad \Lambda(\bm{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{s(\bm{r}')}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V' .$$

• 第2章 §2.4：静電場のエネルギー密度 $\varepsilon_0E^2/2$。
• 第4章：分極 $\bm{P}$ と電束密度 $\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}$。
• 第5章：§5.1 の連続の式 $\nabla\cdot\bm{J}+\partial\rho/\partial t=0$。§5.2 の Lorentz 力 $\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$。§5.4 のベクトルポテンシャル $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$。
• 第6章：磁化 $\bm{M}$ と磁場 $\bm{H}=\bm{B}/\mu_0-\bm{M}$。
• 第7章 §7.3：磁場のエネルギー密度 $B^2/(2\mu_0)$。

この章の結果は、第9章で電磁波の波動方程式とエネルギーの流れに、第10章で Maxwell 方程式の共変形式とエネルギー運動量テンソルに、第11章で遅延ポテンシャルと放射電力の計算に使う。

Ampère の法則と電荷の保存の食い違い

第5章 §5.3 で導いた Ampère の法則

$$\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}\tag{8.1}$$

の両辺の発散をとる。左辺は第1章 §1.1 の恒等式 $\nabla\cdot(\nabla\times\bm{B})=0$ により恒等的に 0 である。したがって(8.1) が成り立つためには $\nabla\cdot\bm{J}=0$ でなければならない。一方、電荷の保存を局所的に書いた連続の式は

$$\nabla\cdot\bm{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\tag{8.2}$$

である。定常電流では電荷密度が時間変化しないので $\nabla\cdot\bm{J}=0$ となり、両者は矛盾しない。しかし、コンデンサーを充電している最中のように電荷密度が時間変化する場合には

$$\nabla\cdot\bm{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}\neq0$$

となり、(8.1) は成り立ち得ない。

同じ食い違いを積分形で見る。図 8.1 のように、導線で電流 $I$ を流して平行板コンデンサーを充電している。導線を囲む円 $C$ に、Ampère の法則の積分形を当てはめる。

$$\oint_C\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\mu_0I_{\mathrm{enc}} .$$

右辺の $I_{\mathrm{enc}}$ は、円を縁とする曲面を貫く電流である。Stokes の定理によれば、縁が同じなら曲面はどれを選んでもよいはずである。

• 円に張った平らな円板 $S_1$ を選ぶと、導線が貫くので $I_{\mathrm{enc}}=I$ である。
• 極板の間を通るように膨らませた袋状の曲面 $S_2$ を選ぶと、極板の間には電流が流れていないので $I_{\mathrm{enc}}=0$ となる。

同じ左辺に対して右辺が2つの値をとるので、(8.1) はこの状況では成り立っていない。

変位電流

食い違いを解消するには、(8.1) の右辺に、発散が $\partial\rho/\partial t$ に等しい項を足せばよい。Gauss の法則 $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon_0$ は時間変化する場でも成り立つと仮定する（電荷のまわりの電場の流束が電荷に比例することは、電荷が動いていても観測と矛盾しない）。この両辺を時間で微分すると

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=\varepsilon_0\nabla\cdot\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}$$

となるので、連続の式 (8.2) は

$$\nabla\cdot\Bigl(\bm{J}+\varepsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}\Bigr)=0\tag{8.3}$$

と書き直せる。括弧の中の量は時間変化する場でも発散が 0 なので、これを (8.1) の右辺の電流の代わりに置けば、両辺の発散がどちらも 0 になって矛盾は消える。

変位電流は電荷の流れではない。名前は、Maxwell が真空にも媒質があると考え、その媒質の「変位」の時間変化を電流とみなしたことに由来する。いまでは真空中の変位電流は、電場の時間変化そのものを指す言葉として使われている。

図 8.1 の状況に戻る。極板の電荷を $Q$、極板の面積を $A$ とする。極板の端の効果を無視すると、極板の間の電場は$E=Q/(\varepsilon_0A)$ である。袋状の曲面 $S_2$ を貫く変位電流は

$$\int_{S_2}\varepsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\varepsilon_0A\frac{\partial E}{\partial t}=\frac{\partial Q}{\partial t}=I$$

となり、平らな曲面 $S_1$ を貫く伝導電流 $I$ と一致する。こうして、どちらの曲面を選んでも右辺は $\mu_0I$ になる。この一致は偶然ではない。(8.3) と発散定理により、閉曲面 $S_1\cup S_2$ を貫く $\bm{J}+\varepsilon_0\partial\bm{E}/\partial t$ の流束が0 になることの帰結である。

真空中の Maxwell 方程式

以上をまとめる。

$c$ は速度の次元を持つ定数である。次の値を入れると、$c$ は光の速さに一致する。

$$\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},\quad \mu_0=1.2566\times10^{-6}\,\mathrm{H/m} \quad\Longrightarrow\quad c=2.998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.$$この一致の意味は第9章で電磁波の速さとして明らかになる。

それぞれの方程式は、第1章の積分定理で積分形に書き直せる。体積 $V$ とその表面 $\partial V$ を考える。また、曲面 $S$ とその縁 $\partial S$ を考える（向きは Stokes の定理の右ねじの約束）。これらについて

$$\begin{align*}\oint_{\partial V}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}&=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}, & \oint_{\partial V}\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}&=0,\tag{8.10}\\\oint_{\partial S}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{r}&=-\frac{d }{d t}\int_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}, & \oint_{\partial S}\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{r}&=\mu_0I_S+\frac{1}{c^2}\frac{d }{d t}\int_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\tag{8.11}\end{align*}$$

が成り立つ。ここで $Q_{\mathrm{in}}$ は体積の中の電荷、$I_S$ は曲面を貫く電流である（曲面は時間によらないとする）。第3式は第7章 §7.1 の Faraday の法則、第4式は Ampère–Maxwell の法則の積分形である。

方程式の数と、発散の式が保たれること

(8.6)–(8.9) は、スカラーの式2本とベクトルの式2本で、成分にすると8本ある。未知数は電場と磁場の6成分なので、一見すると方程式が多すぎるように見える。実は発散の2本は、時間発展の式（回転の2本）と両立する「初期条件への制約」の役割を持つ。

証明

(8.8) の発散をとると、$\nabla\cdot(\nabla\times\bm{E})=0$ より

$$\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\bm{B})=-\nabla\cdot(\nabla\times\bm{E})=0$$

となるので、$\nabla\cdot\bm{B}$ は時間によらない。初めに 0 ならずっと 0 である。次に $G\coloneqq\nabla\cdot\bm{E}-\rho/\varepsilon_0$ とおく。(8.9) から

$$\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}=c^2\nabla\times\bm{B}-\frac{\bm{J}}{\varepsilon_0}$$

なので

$$\frac{\partial G}{\partial t}=\nabla\cdot\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}-\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\partial \rho}{\partial t} =c^2\nabla\cdot(\nabla\times\bm{B})-\frac{1}{\varepsilon_0}\Bigl(\nabla\cdot\bm{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\Bigr)=0-0=0 .$$

よって $G$ も時間によらず、初めに 0 ならずっと 0 である。

この定理の逆向きの読み方も重要である。(8.6) と (8.9) がどちらも成り立つなら、(8.9) の発散と(8.6) の時間微分を組み合わせて連続の式 (8.2) が導かれる（確認テスト 8.1-4）。つまり Maxwell 方程式は電荷の保存を含んでいて、電荷が保存しない源を与えると方程式は解を持たない。

物質中の Maxwell 方程式

物質の中では、外から持ち込んだ自由電荷と自由電流（添字 f）のほかに、分極と磁化による電荷と電流がある。第4章 §4.1 の分極電荷 $\rho_{\mathrm b}=-\nabla\cdot\bm{P}$ と、第6章 §6.1 の磁化電流 $\bm{J}_{\mathrm b}=\nabla\times\bm{M}$ がその例である。これらに加えて、分極が時間変化するときには分極電流が流れる。

分極電流の大きさを求める。物質の中の小さな面 $\Delta S$（単位法線 $\bm{n}$）を考える。第4章 §4.1 の分極電荷の導出と同じ考え方で、分極が $\bm{P}$ になるまでに、この面を法線の向きに横切った電荷は $\bm{P}\cdot\bm{n}\,\Delta S$ である。

分極が時間変化すれば、横切った電荷も時間変化する。単位時間あたりに横切る電荷は $(\partial\bm{P}/\partial t)\cdot\bm{n}\,\Delta S$ となる。これは電流密度

$$\bm{J}_{\mathrm p}=\frac{\partial \bm{P}}{\partial t}\tag{8.12}$$

が面を貫く量である。分極電荷と分極電流は連続の式を満たす。実際、

$$\nabla\cdot\bm{J}_{\mathrm p}=\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\bm{P})=-\frac{\partial \rho_{\mathrm b}}{\partial t}$$

である。磁化電流は $\nabla\cdot(\nabla\times\bm{M})=0$ なので、単独で連続の式を満たす。

真空の Maxwell 方程式の源に、全部の電荷と電流

$$\rho=\rho_{\mathrm f}-\nabla\cdot\bm{P},\qquad \bm{J}=\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial \bm{P}}{\partial t}+\nabla\times\bm{M}$$

を入れる。(8.6) は $\nabla\cdot(\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P})=\rho_{\mathrm f}$ となる。(8.9) に $1/\mu_0$ を掛けると

$$\nabla\times\frac{\bm{B}}{\mu_0}=\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial \bm{P}}{\partial t}+\nabla\times\bm{M}+\varepsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \nabla\times\Bigl(\frac{\bm{B}}{\mu_0}-\bm{M}\Bigr)=\bm{J}_{\mathrm f}+\frac{\partial }{\partial t}(\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P})$$

となる。$\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}+\bm{P}$、$\bm{H}=\bm{B}/\mu_0-\bm{M}$ を使って書くと、次の形にまとまる。

ここで $\sigma_{\mathrm c}$ は電気伝導率である（表面電荷密度 $\sigma$ と区別するため添字 c を付ける）。境界条件は、静的な場合（第4章 §4.3、第6章 §6.2）と同じ形のまま時間変化する場でも成り立つ。境界をまたぐ薄い円筒や細い長方形に積分形を当てはめて、厚みを 0 にする極限を考える。このとき時間微分の項 $\partial\bm{B}/\partial t$ や $\partial\bm{D}/\partial t$ の面積分は、有限の場の値に面積を掛けたものになり、面積とともに 0 になるからである。

境界が表面電荷 $\sigma_{\mathrm f}$ と表面電流 $\bm{K}_{\mathrm f}$ を持つとする。法線 $\bm{n}$ を媒質1から2の向きにとると

$$\bm{n}\cdot(\bm{D}_2-\bm{D}_1)=\sigma_{\mathrm f},\quad \bm{n}\cdot(\bm{B}_2-\bm{B}_1)=0,\quad \bm{n}\times(\bm{E}_2-\bm{E}_1)=\bm{0},\quad \bm{n}\times(\bm{H}_2-\bm{H}_1)=\bm{K}_{\mathrm f}\tag{8.14}$$

となる。第9章では、この境界条件から反射と屈折の法則を導く。

確認テスト

オリジナル

1. 8.1-1 変位電流密度 $\varepsilon_0\partial\bm{E}/\partial t$ の単位が、電流密度の単位 $\mathrm{A/m^2}$ と同じであることを確かめよ。

2. 8.1-2 同心の導体球の間を、一様な物質で満たす。内球の半径は $a$、外球の内半径は $b$ である。物質の電気伝導率は $\sigma_{\mathrm c}$、誘電率は $\varepsilon$ である。時刻 0 に内球に電荷 $Q_0$、外球に $-Q_0$ を与えると、電荷は物質を通って漏れる。

   1. (a) 内球の電荷 $Q(t)$ を求めよ。
   2. (b) 極板の間のどこでも $\bm{J}_{\mathrm f}+\partial\bm{D}/\partial t=\bm{0}$ となることを示せ。
   3. (c) このとき磁場が 0 であることを、対称性から説明せよ。

3. 8.1-3 湿った土で、伝導電流と変位電流の振幅が等しくなる周波数を求めよ。湿った土の値は次のとおりである。

$$\sigma_{\mathrm c}=1.0\times10^{-2}\,\mathrm{S/m},\qquad \varepsilon=10\varepsilon_0 .$$ 4. 8.1-4 物質中の Maxwell 方程式 (8.13) の第1式と第4式から、自由電荷の連続の式 $\nabla\cdot\bm{J}_{\mathrm f}+\partial\rho_{\mathrm f}/\partial t=0$ を導け。