スカラー・ベクトルポテンシャルとゲージ

電磁気学入門　第8章 §8.2　★★★ 斉次の2本を $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$、$\bm{E}=-\nabla\phi-\partial\bm{A}/\partial t$ で解き、残りの2本をポテンシャルの方程式に直す。ゲージを選ぶと式が簡単になる

ポテンシャルの導入

Maxwell 方程式のうち、源を含まない (8.7) と (8.8) の2本は、ポテンシャルを使うと恒等的に満たされる。(8.7) の $\nabla\cdot\bm{B}=0$ から、第1章 §1.3 の Helmholtz の分解（発散の無い場は回転で書ける）により、

$$\bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{8.15}$$

となるベクトル場 $\bm{A}$ がある。これは第5章 §5.4 で静磁場について導入したベクトルポテンシャルと同じ形で、時間変化する場でもそのまま使える。(8.15) を (8.8) に入れると

$$\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla\times\bm{A}\quad\Longrightarrow\quad \nabla\times\Bigl(\bm{E}+\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\Bigr)=\bm{0}$$

となる。回転が 0 の場は（全空間のような単連結な領域では）勾配で書ける（第1章 §1.3）。そのため、あるスカラー場 $\phi$ を使って$\bm{E}+\partial\bm{A}/\partial t=-\nabla\phi$ と書ける。まとめると

$$\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\qquad \bm{B}=\nabla\times\bm{A} .\tag{8.16}$$

$\phi$ をスカラーポテンシャル、$\bm{A}$ をベクトルポテンシャルと呼ぶ。静的な場では $\partial\bm{A}/\partial t=\bm{0}$ なので、$\phi$ は第2章の電位に戻る。時間変化する場では、電場は電位の勾配だけでは書けず、$-\partial\bm{A}/\partial t$ の部分を持つ。この部分が第7章の誘導起電力の源である。

ゲージ変換

(8.16) を満たすポテンシャルは一通りには決まらない。

証明

$\nabla\times\nabla\Lambda=\bm{0}$ より $\nabla\times\bm{A}'=\nabla\times\bm{A}=\bm{B}$。また

$$-\nabla\phi'-\frac{\partial \bm{A}'}{\partial t}=-\nabla\phi+\nabla\frac{\partial \Lambda}{\partial t}-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial t}\nabla\Lambda=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}=\bm{E} .$$

逆を示す。2組の差を次のようにおく。

$$\bm{a}=\bm{A}'-\bm{A},\qquad \varphi=\phi'-\phi .$$

1. ベクトルポテンシャルの差は勾配である。磁場が等しいので $\nabla\times\bm{a}=\bm{0}$ である。そのため、$\bm{a}=\nabla\Lambda$ となる関数がある（各時刻で勾配の形に書く。$\Lambda$ は時間に依存してよい）。
2. スカラーポテンシャルの差は時間だけの関数を除いて決まる。電場が等しいことから

$$-\nabla\varphi-\frac{\partial \bm{a}}{\partial t}=\bm{0},\qquad\text{つまり}\quad \nabla\Bigl(\varphi+\frac{\partial \Lambda}{\partial t}\Bigr)=\bm{0}$$

となる。よって $\varphi+\partial\Lambda/\partial t$ は、空間によらない時間の関数 $f(t)$ である。3. その関数は $\Lambda$ に吸収できる。$\Lambda$ を $\Lambda-\int^tf(t')\,\mathrm{d} t'$ に取り替えても、その勾配は変わらない。この取り替えのあとでは $\varphi=-\partial\Lambda/\partial t$ となる。

$\Lambda$ をゲージ関数、(8.17) をゲージ変換と呼ぶ。観測にかかる量は Lorentz 力を通じて $\bm{E}$ と $\bm{B}$ だけなので、ゲージ変換で移り合うポテンシャルは物理的に同じ状態を表す。ゲージの自由度は、問題に合わせてポテンシャルに条件を1つ課して、式を簡単にするために使う。

ポテンシャルが満たす方程式

残りの2本、(8.6) と (8.9) をポテンシャルで書く。(8.16) を (8.6) に入れると

$$\nabla^2\phi+\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\bm{A})=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.\tag{8.18}$$

(8.9) に入れ、第1章 §1.1 の恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A}$ を使うと

$$\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A}=\mu_0\bm{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\Bigr)$$

となる。整理して

$$\nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2\bm{A}}{\partial t^2}-\nabla\Bigl(\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\bm{J} .\tag{8.19}$$

(8.18) と (8.19) は $\phi$ と $\bm{A}$ が絡み合った形をしている。ゲージの自由度を使って、$\nabla\cdot\bm{A}$ を決める条件を課すと、絡み合いがほどける。

Coulomb ゲージ

任意のポテンシャル $(\phi,\bm{A})$ から Coulomb ゲージに移れることを確かめる。(8.17) の変換で

$$\nabla\cdot\bm{A}'=\nabla\cdot\bm{A}+\nabla^2\Lambda$$

となるので、$\Lambda$ を Poisson 方程式 $\nabla^2\Lambda=-\nabla\cdot\bm{A}$ の解に選べばよい。この解は第1章 §1.3 の公式で

$$\Lambda(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\bm{A}(\bm{r}',t)}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V'$$

と書ける（$\nabla\cdot\bm{A}$ が遠方で十分速く減る場合）。

Coulomb ゲージでは (8.18) の第2項が消え、

$$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad \phi(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\bm{r}',t)}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V'\tag{8.20}$$

となる。スカラーポテンシャルは、同じ時刻の電荷分布がつくる Coulomb の電位そのものである。ゲージの名前はここに由来する。(8.19) は

$$\nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2\bm{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\bm{J}+\frac{1}{c^2}\nabla\frac{\partial \phi}{\partial t}\tag{8.21}$$

となる。右辺の発散をとると、(8.20) と連続の式から

$$\nabla\cdot\Bigl(-\mu_0\bm{J}+\frac{1}{c^2}\nabla\frac{\partial \phi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\nabla\cdot\bm{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\Bigr) =-\mu_0\Bigl(\nabla\cdot\bm{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\Bigr)=0$$

となる（$1/(c^2\varepsilon_0)=\mu_0$ を使った）。右辺は発散の無い部分（横成分）だけを持ち、左辺の $\nabla\cdot\bm{A}=0$ と両立している。

Helmholtz の分解で、$\bm{J}$ を回転の無い縦の部分と発散の無い横の部分に分ける。右辺第2項 $\nabla\partial_t\phi/c^2$ は、ちょうど縦の部分 $\mu_0\bm{J}_{\parallel}$ を打ち消す。そのため、(8.21) の右辺は横の部分 $-\mu_0\bm{J}_{\perp}$ だけになる。

Lorenz ゲージ

Lorenz ゲージでは、(8.19) の第3項が消える。(8.18) の $\nabla\cdot\bm{A}$ を $-c^{-2}\partial\phi/\partial t$ に置き換えると、2本の式は同じ形になる。ダランベルシアン

$$\Box\coloneqq\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2\tag{8.23}$$

を使うと

$$\Box\phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \Box\bm{A}=\mu_0\bm{J}\tag{8.24}$$

となる。$\phi$ と $\bm{A}$ の各成分が、源のある波動方程式に別々に従う。源の無い所では右辺が 0 になり、ポテンシャルは速さ $c$ の波として伝わる。

符号の約束 (8.23) は、計量 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ での $\partial_\mu\partial^\mu$ と一致する。第10章では、ポテンシャルと源を次のように4成分にまとめる。

$$A^\mu=\Bigl(\frac{\phi}{c},\bm{A}\Bigr),\qquad J^\mu=(c\rho,\bm{J}).$$

すると (8.22) は $\partial_\mu A^\mu=0$ に、(8.24) は $\Box A^\mu=\mu_0J^\mu$ になり、どちらも Lorentz 変換で形を変えない式になる。

証明

$L\coloneqq\nabla\cdot\bm{A}+c^{-2}\partial\phi/\partial t$ とおく。(8.17) の変換で

$$L'=\nabla\cdot\bm{A}+\nabla^2\Lambda+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2\Lambda}{\partial t^2}=L-\Box\Lambda$$

となる。したがって、ゲージ関数を源のある波動方程式 $\Box\Lambda=L$ の解に選べば、変換後の $L'$ は 0 になる。この方程式の解は、(8.24) の解と同じ方法（第11章 §11.1 の遅延ポテンシャルの公式）で具体的に書ける。後半は、変換の前後でともに $L$ が 0 である条件が $\Box\Lambda=0$ であることから直ちに従う。

残った自由度 $\Box\Lambda=0$ は、源の無い所でさらに条件を課すのに使う。第9章では、真空中の平面波について $\phi=0$ と $\nabla\cdot\bm{A}=0$ を同時に満たす選び方（Coulomb ゲージでもあり Lorenz ゲージでもある）を使う。

確認テスト

オリジナル

1. 8.2-1 時間変化する磁場がある所では、電場をスカラーポテンシャルの勾配 $-\nabla\phi$ だけで書くことができない。その理由を Maxwell 方程式の1本を使って1行で述べよ。
2. 8.2-2 次のポテンシャルを考える（$A_0,k,\omega$ は正の定数）。

$$\phi=0,\qquad \bm{A}=A_0\sin(kx-\omega t)\,\hat{\bm{y}}.$$

1. (a) 電場と磁場を求め、このポテンシャルが Coulomb ゲージと Lorenz ゲージの条件をともに満たすことを示せ。
2. (b) 源の無い真空でこれが Maxwell 方程式の解になるための、$\omega$ と $k$ の関係を求めよ。
3. (c) そのときの $\left\vert \bm{E}\right\vert /\left\vert \bm{B}\right\vert$ を求めよ。
4. 8.2-3 次のポテンシャルを考える（$\beta$ は定数）。

$$\phi=0,\qquad \bm{A}=\beta tx\,\hat{\bm{x}}.$$

1. (a) 電場と磁場を求め、それをつくる電荷密度と電流密度を求めよ。
2. (b) このポテンシャルが Lorenz 条件を満たさないことを確かめよ。Coulomb ゲージへ移すゲージ関数 $\Lambda$ と、移したあとのポテンシャル $(\phi',\bm{A}')$ を求めよ。
3. 8.2-4 Coulomb ゲージを満たす2組のポテンシャルが、無限遠で $\bm{A}\to\bm{0}$ となる条件のもとでは一致することを、ゲージ関数が満たす方程式と第1章 §1.3 の一意性から示せ。