幾何学的に相似なだけでは足りない：巨人は存在できるか

次元解析入門　第6章 §6.2

普通の人間を形はそのまま、身長だけ10倍にした巨人は立っていられるだろうか。体重は体積に比例するので $10^3$ 倍になるが、体重を支える骨の断面積は $10^2$ 倍にしかならない。骨の単位面積あたりにかかる力（応力）は10倍になり、同じ材料の骨ではいずれ折れる。

これを相似の言葉で書く。地上の物体では、物体にはたらく重力と、物体内部の応力がつり合っている。物体の大きさを $L$、密度を $\rho$、材料が耐えられる限界の応力（破壊応力）を $E$ とすると、重力は $\rho gL^3$、材料が耐えられる限界の力は $EL^2$ の大きさを持ち、その比

$$\Pi = \frac{\rho g L^3}{E L^2} = \frac{\rho g L}{E}$$

が無次元量になる。原型（添字 o）と模型（添字 m）で $\Pi$ を等しくするには、各量の相似比$Q^*=Q_m/Q_o$ の間に

$$\frac{\rho^* g^* L^*}{E^*}=1$$

が成り立たなければならない。同じ地上（$g^*=1$）で同じ材料（$\rho^*=1$）なら $E^*=L^*$ となる。大きさを10倍にするなら、10倍の破壊応力を持つ材料が要る。大きな豆腐が崩れやすいこと、大きな動物ほど体のわりに骨が太いことは、この関係で理解できる。虫の形をそのまま100倍にすると、質量は $10^6$ 倍、脚の断面積は $10^4$ 倍になり、自分の重さで脚がつぶれる。「物体にはたらく重力」と「物体内の応力」のつり合いについての相似が成り立っていないからである。