補遺：最大エントロピー原理による統一導出

統計熱力学入門　第1章 §1.5　★ Jaynes の変分原理で三分布を一挙に導く別視点。背景として得点源。

各分布を「浴との接触」から導いたが、Jaynes の最大エントロピー原理を使うと、三つの分布が一つの変分問題の特別な場合として一挙に得られ、ルジャンドル構造が最も透明になる。

情報エントロピー $S[P]=- k_{\mathrm B}\sum_i P_i\ln P_i$ を、課された期待値拘束のもとで最大化する。ラグランジュ未定乗数を使うと、拘束に共役な乗数がちょうど示強変数になる。

たとえばカノニカルでは、$\sum_i P_i=1$ と $\sum_i P_i E_i=\langle E\rangle$ の二拘束のもとで $S[P]$ を最大化する。未定乗数 $\alpha,\beta$ を導入し $\delta\bigl[S/ k_{\mathrm B}-\alpha\sum P_i-\beta\sum P_iE_i\bigr]=0$ を解くと$P_i\propto\mathrm{e}^{-\beta E_i}$ が出て、$\beta$ がエネルギー拘束に共役な乗数＝逆温度として現れる。規格化乗数から $\ln Z$ が、すなわち $F=- k_{\mathrm B} T\ln Z$ が自然に立ち現れる。