三つの「繋がり」を3つの観点で

統計熱力学入門　第3章 §3.7　★★ 物理（浴を足す）・数学（ラプラス変換）・熱力学（ルジャンドル変換）の三観点。集団の統一像。

図2：三つのアンサンブルの階層。固定量が共役な制御変数に置き換わりながら、ポテンシャルがルジャンドル変換でつながる。

① 物理的な繋がり：浴を付け足していくだけ

★★　全て「系＋浴」にミクロカノニカルを適用しているだけ、という統一視点。

カノニカルもグランドカノニカルも、「系＋浴」という大きな孤立系にミクロカノニカル（等重率）を適用しているだけである。

$$\underbrace{\text{ミクロカノニカル}}_{\text{孤立・基本原理}} \;\xrightarrow{\;\text{エネルギー浴}\;}\; \text{カノニカル} \;\xrightarrow{\;\text{粒子浴}\;}\; \text{グランドカノニカル}.$$

ミクロカノニカルが唯一の公理（等重率）を担い、残り二つはその派生である。

② 数学的な繋がり：和の積み重ね（ラプラス変換）

★★　$Z=\sum_E W e^{-\beta E}$、$\Xi=\sum_N e^{\beta\mu N}Z$。集団間はラプラス変換で結ばれる。

分配関数のレベルでは、上位は下位の重み付き和になっている。

$$Z(\beta,N,V)=\sum_E W(E,N,V)\,e^{-\beta E} \qquad(\text{ミクロ}\to\text{カノニカル}),$$

$$\Xi(\beta,\mu,V)=\sum_N e^{\beta\mu N}\,Z(\beta,N,V) \qquad(\text{カノニカル}\to\text{グランド}).$$

「固定 $\to$ 制御変数」への移行は、その変数について重み付きで足し上げる（ラプラス変換）操作にほかならない。

③ 熱力学的な繋がり：ルジャンドル変換

★★★　鞍点法で $F=E-TS$、$J=F-\mu N$。ルジャンドル変換は統計力学の中核テーマ。

②の和を熱力学極限で鞍点法（最急降下法）により評価する。$Z=\sum_E e^{(S(E)/ k_{\mathrm{B}}-\beta E)}$ の指数を最大化する $E^\ast$ で

$$\frac{\partial}{\partial E}\!\left(\frac{S}{ k_{\mathrm{B}}}-\beta E\right)=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\partial S}{\partial E}= k_{\mathrm{B}}\beta=\frac{1}{T},$$

これは「$E$ と $T$ が共役」という熱力学の関係そのもの。得られるポテンシャルの関係が

$$F = E - TS \qquad(S\to F),\qquad\qquad J = F - \mu N \qquad(F\to J)$$

というルジャンドル変換である。解析力学の $L\to H$（ラグランジアン→ハミルトニアン）とまったく同じ構造をもつ。