なぜ「どれを使ってもいい」のか — アンサンブルの等価性

統計熱力学入門　第3章 §3.8　★★ $\Delta N/\langle N \rangle \sim V^{-1/2}$ で集団が等価。相転移点で破れる点まで押さえたい。

②の和 $\Xi=\sum_N e^{\beta\mu N}Z(\beta,N)$ を考える。各項は $N$ の関数としてある $N=\langle N \rangle$ で鋭いピークを持ち、その相対幅は

$$\frac{\Delta N}{\langle N \rangle }\sim \frac{1}{\sqrt{V}}.$$

$V\to\infty$ ではこのピークがデルタ関数的に鋭くなり、和は実質的に $N=\langle N \rangle$ の一項で尽きる：

$$\Xi \simeq e^{\beta\mu\langle N \rangle }Z(\beta,\langle N \rangle ) \;\Longrightarrow\; J \simeq -\mu\langle N \rangle + F.$$

すなわち熱力学極限では、$N$ を交換させても固定しても結果は同じ。グランドカノニカルで計算しても$N=\langle N \rangle$ のカノニカルで計算しても、熱力学量はすべて一致する。これがアンサンブルの等価性である。同じことが $E$ についても成り立つ。