2 次元では BEC が起きないこと

統計熱力学入門　第9章 §9.6　★★ 2次元は積分が対数発散→上限なし→BEC 無し。$d>2$ でのみ凝縮という一般則。

BEC が起きるかどうかは、励起状態が「収容できる最大粒子密度」が有限か否かで決まる。3 次元では $F_{1/2}(0)=\zeta(3/2)$ が有限だったため、それを超える分が凝縮した。2 次元では状態密度が

$$D_{2}(\varepsilon)=\frac{mL^2}{2\pi\hbar^2}\qquad(\text{エネルギーに依らない定数})$$

となる（$\varepsilon\propto k^2$ より $\mathop{}\!\mathrm{d} k^2\propto\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon$）。励起状態が収容できる粒子数は

$$N_{\mathrm{ex}}=\int_0^\infty\frac{D_2(\varepsilon)}{\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1}\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon =\frac{mL^2}{2\pi\hbar^2}\cdot\frac{1}{\beta}\Big[-\ln\!\big(1-\mathrm{e}^{\beta\mu}\big)\Big].$$

ここで $\int_0^\infty(\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1)^{-1}\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon =-\beta^{-1}\ln(1-\mathrm{e}^{\beta\mu})$ を用いた。要点は、$\mu\to0^-$ でこの値が

$$-\ln\!\big(1-\mathrm{e}^{\beta\mu}\big)\simeq-\ln(-\beta\mu)\xrightarrow[\mu\to0^-]{}+\infty$$

と対数的に発散することである。したがって 2 次元では、どんな有限の密度 $\rho$ に対しても、また任意の $T>0$ で、$N=N_{\mathrm{ex}}$ を満たす $\mu<0$ の解が常に存在する。

3 次元で BEC を可能にしたのは $\int_0^\infty\varepsilon^{1/2}(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon}-1)^{-1}\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon$が収束（$\varepsilon\to0$ で $\varepsilon^{1/2}/\varepsilon=\varepsilon^{-1/2}$ は可積分）することであった。2 次元では被積分関数が $\varepsilon^{0}/\varepsilon=\varepsilon^{-1}$ となり、$\varepsilon\to0$ で対数発散する。この低エネルギー状態密度の違い（$D\propto\varepsilon^{d/2-1}$ の冪）が、凝縮の有無を分ける。一般に、自由 Bose 気体の BEC は $d>2$ でのみ生じる。

全体のまとめ。高温・希薄極限では量子統計が古典理想気体への符号付き補正（Fermi は実効斥力 $+$、Bose は実効引力 $-$）として現れることを見た。逆の強縮退極限では、Fermi 面の存在が $C\propto T$ の電子比熱と温度に鈍い Pauli 常磁性を生み、金属では$T_{\mathrm F}\sim10^4\,\mathrm K$ ゆえ室温でもこの描像が有効であることを確かめた。バンドギャップ系ではギャップが熱励起を $\mathrm{e}^{-\Delta/2 k_{\mathrm{B}} T}$ に抑え、半導体・絶縁体の活性化型の比熱を導いた。そして Bose 気体では、状態密度の低エネルギー冪が凝縮の有無を決め、3 次元でのみ$\left\langle n_1 \right\rangle /V=\rho[1-(T/T_c)^{3/2}]$ の凝縮が起こることを示した。いずれも、状態密度 $D(\varepsilon)$ と分布関数 $f_{\mathrm F/B}(\varepsilon)$ という共通の道具から、統計と次元と温度領域の違いだけで多彩な物理が現れる好例である。