凝縮体密度と温度依存性

統計熱力学入門　第9章 §9.5　★★★ $\left\langle n_1 \right\rangle /V=\rho[1-(T/T_c)^{3/2}]$。秩序変数としての凝縮体割合。

熱力学極限で基底状態の粒子数密度を求める。前節の $N=\left\langle n_1 \right\rangle +\dfrac{V}{\lambda_T^3}\zeta(3/2)$ を$V$ で割り、$\dfrac{\zeta(3/2)}{\lambda_{T_c}^3}=\rho$（臨界条件）と$\dfrac{\lambda_{T_c}}{\lambda_T}=\Big(\dfrac{T}{T_c}\Big)^{1/2}$（$\lambda_T\propto T^{-1/2}$）を使うと、

$$\frac{\left\langle n_1 \right\rangle }{V}=\rho-\frac{\zeta(3/2)}{\lambda_T^3} =\rho-\rho\left(\frac{\lambda_{T_c}}{\lambda_T}\right)^3 =\rho\left[1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\right].$$

温度依存性を図9.1に示す。$T\ge T_c$ では凝縮体はなく、$T_c$ を境に連続的に（傾きは不連続に）立ち上がり、$T\to0$ で全粒子が凝縮して $\left\langle n_1 \right\rangle /V\to\rho$ となる。この曲線は相転移の秩序変数に相当し、$1-(T/T_c)^{3/2}$ という冪が 3 次元自由 Bose 気体に固有の指数である。

図 9.1　基底状態の粒子数密度（凝縮体割合）の温度依存性。$T_c$ 以下で$1-(T/T_c)^{3/2}$ に従って立ち上がり、$T\to0$ で全粒子が凝縮する。