◆発展：Lindblad 方程式——チャネルの微分形

量子力学入門　第10部 第5章 §10.5.4　★ 発展：開いた系の時間発展の一般形

Kraus 表現は「時刻 $0\to t$ の一括の写像」だった。微小時間 $\mathrm{d} t$ ごとの変化として書き直すと（Markov 近似：環境がすぐ忘れる）、最も一般の形が

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\hat\rho}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat\rho\right] +\sum_k\gamma_k\Bigl(\hat L_k\hat\rho\hat L_k^\dagger-\frac12\bigl\{\hat L_k^\dagger\hat L_k,\hat\rho\bigr\}\Bigr)\ }$$

——Lindblad（GKSL）方程式である（第1項：ユニタリ部分、第2項：散逸；$\{\cdot,\cdot\}$ は反交換子）。この形は「任意の $\mathrm{d} t$ で CPTP」という要請だけから一意に決まることが知られており、開いた量子系の Schrödinger 方程式の地位をもつ。実演：純位相減衰 $\hat L=\hat\sigma_z$ では対角は不変、非対角は $\dot\rho_{01}=-2\gamma\rho_{01}$ ゆえ $\rho_{01}(t)=\rho_{01}(0)\,\mathrm{e}^{-2\gamma t}$（SymPy で確認済み）——前節の位相減衰チャネルの連続時間版である（$T_\varphi=1/2\gamma$）。振幅減衰は $\hat L=\hat\sigma_-$（下降演算子）で、第12部の第1章の自然放出レート $A$ が $\gamma$ の座に入る。量子光学・量子コンピュータのノイズ解析は、ほぼすべてこの方程式の上で行われる。