◆発展：POVM——測定の最も一般の形

量子力学入門　第10部 第5章 §10.5.5　★ 発展：射影測定を一般化した測定の枠組み

射影測定も、チャネルの言葉で一般化できる。測定を「系＋補助系のユニタリ→補助系の射影測定」と実装すると、系の側から見た結果 $k$ の確率は

$$P(k)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat E_k\bigr),\qquad \hat E_k:=\hat K_k^\dagger\hat K_k\ \ge0,\qquad \sum_k\hat E_k=\hat 1$$

——正値演算子の分解 $\{\hat E_k\}$（POVM）が測定を定義する。射影測定は $\hat E_k$ が直交射影という特別な場合で、一般の POVM は直交しない・数が次元を超えることすら許される。威力の実例が曖昧さのない状態識別：非直交な $| \psi_1 \rangle ,| \psi_2 \rangle$ は射影測定では確実に区別できない（クローン禁止と同根）が、3要素 POVM $\{\hat E_1,\hat E_2,\hat E_?\}$ を使えば「結果1なら確実に $\psi_1$、結果2なら確実に $\psi_2$、ただし時々“分からない”」という識別ができる——量子暗号（B92 プロトコル）の心臓部である。「測定＝エルミート演算子の射影」という公理は、POVM という広い海の最も見通しのよい島だった、というのが現代的な整理である。