断面積の定義

量子力学入門　第11部 第1章 §11.1.1　★★ 微分断面積 $\mathrm{d}\sigma/\mathrm{d}\Omega$ と全断面積の定義。次元は面積。

束縛状態の問題では「エネルギー準位」が理論と実験の共通言語だった。散乱の問題——粒子をぶつけて、どの方向へどれだけ跳ね返るかを問う問題——では、その役を断面積が担う。原子核の発見（Rutherford）から素粒子の発見（LHC）まで、ミクロな世界の構造はほぼすべて散乱実験で明らかにされてきた。理論の側の仕事は「与えられたポテンシャル（相互作用）から断面積を予言する」ことであり、この部はその方法を組み立てる。

実験の設定を言葉にする（図 1.1）。一様な粒子ビーム（単位時間・単位面積あたり $j_{\rm in}$ 個：入射流束）を標的に当て、散乱角 $(\theta,\phi)$ 方向の微小立体角 $\mathrm{d}\Omega$ に置いた検出器で、単位時間あたりの計数 $\mathrm{d} N$ を測る。$\mathrm{d} N$ はビームの強さと検出器の大きさに比例するから、比例係数

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}:=\frac{\mathrm{d} N}{j_{\rm in}\,\mathrm{d}\Omega}\ }$$

が標的そのものの性質を表す——これが微分断面積である。全立体角で積分したもの

$$\sigma:=\int\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}\,\mathrm{d}\Omega$$

が全断面積。次元は（数／時間）÷（数／時間／面積）＝面積であり、「標的が入射ビームから見て実効的にどれだけの的（まと）に見えるか」を表す。古典力学で半径 $a$ の剛体球に一様なビームを当てれば、当たる条件は衝突径数 $b<a$ だから $\sigma=\pi a^2$——文字どおり幾何学的な断面の面積になる（量子力学では低エネルギーでこの4倍になることを第5章で見る。波は球の「裏側」も感じるのである）。

図 1.1：散乱実験の幾何と微分断面積の定義。