スピン磁気モーメントと Zeeman 項

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.7　★★ Zeeman分裂・スピン磁気モーメント

ここまで電子の軌道運動だけを扱ってきたが、電子はスピンという内部角運動量をもち、それに伴う磁気モーメントで磁場と直接結合する。大きさ $S$ のスピン $\hat{\bm{S}}$ に対して磁気モーメント演算子は

$$\hat{\bm{\mu}}=\frac{\mu}{S}\hat{\bm{S}}$$

と書け（$\mu$：モーメントの大きさ）、磁場との結合は

$$\hat H_{\rm Z}=-\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}=-\frac{\mu}{S}\,\hat{\bm{S}}\cdot\bm{B}$$

——Zeeman 項である。電子（$S=\frac12$）では

$$\mu_e=-\mu_B\times1.00116\cdots,\qquad \mu_B:=\frac{e\hbar}{2m_e}\ (\text{Bohr 磁子})$$

であり、符号が負（モーメントがスピンと反平行）なのは電荷が負だからである。$\mu_e=-\mu_B$ ちょうど（$g$ 因子2）は Dirac 方程式から出る値で、$0.116\%$ のずれは電磁場の量子化（QED の異常磁気モーメント）による補正である。なお中性子は電荷をもたないのに磁気モーメントをもつ——内部のクォークの電荷分布の反映であり、「磁気モーメント＝電荷の回転」という古典的描像の限界を示す好例である。

一様磁場中の（2次元）電子のハミルトニアンにこの項を加えると

$$\hat H=\frac{1}{2m_e}\Bigl[\hat p_1^2+(\hat p_2+eB\hat x_1)^2\Bigr]-\mu_e B\,\hat\sigma_3, \qquad E_{n,\sigma}=\hbar\omega_c\Bigl(n+\frac12\Bigr)\mp\mu_e B$$

（複号は $\sigma_3=\pm1$、$\omega_c=eB/m_e$）。ここで面白い数の一致が起こる。もし $\mu_e=-\mu_B$ ちょうどなら、スピン分裂の幅は

$$2\mu_B B=\frac{e\hbar}{m_e}B=\hbar\omega_c$$

——Landau 準位の間隔にぴったり一致する。したがって「$n$ 番目の上向きスピン」と「$n+1$ 番目の下向きスピン」が厳密に縮退し、準位のはしごは2本が完全に重なる。実際には $g$ 因子の $1.00116$ のずれのぶんだけ縮退がわずかに解け、準位はごく僅かに割れた2本組になる——QED 補正がスペクトルの縮退の解け方として直接目に見える、美しい実例である。

図 1.2：磁場中の2次元電子の準位。スピン $\uparrow$ のはしご（左）と $\downarrow$ のはしご（右）。$g=2$ ちょうどならスピン分裂＝Landau 間隔で2本のはしごが厳密に重なり、$g$ 因子の QED 補正がその縮退をわずかに解く。