Landau ゲージ：並進対称性をあらわに使う解法

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.6　★★ 縮退度の数え方（別解法）

対称ゲージ（前節）は回転対称性を残す取り方だった。同じ一様磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_3$ を、今度は並進対称性が見えるゲージ

$$\bm{A}=(0,\,Bx_1,\,0)$$

で表してみよう（Landau ゲージ）。ハミルトニアンは

$$\hat H=\frac{1}{2m}\Bigl[\hat p_1^2+\bigl(\hat p_2-qB\hat x_1\bigr)^2\Bigr]$$

となり、$\hat x_2$ がどこにも現れない。ゆえに

$$\left[\hat H,\,\hat p_2\right]=0$$

——$x_2$ 方向の並進対称性が保存量 $\hat p_2$ を与える（対称性 $\Leftrightarrow$ 保存量の一般定理）。そこで $\hat p_2$ の固有値 $k_2$（$\hbar$ 込みの運動量）のセクターに制限すると、$\hat p_2\to k_2$ と置き換えられて

$$\hat H\Big|_{k_2}=\frac{\hat p_1^2}{2m}+\frac{m}{2}\Bigl(\frac{qB}{m}\Bigr)^{\!2}\Bigl(\hat x_1-\frac{k_2}{qB}\Bigr)^{\!2}$$

——中心が $x_1^{(0)}=k_2/qB$ にずれた調和振動子（角振動数 $\omega_c=|qB|/m$）に帰着する。固有値は中心の位置によらず

$$E_n=\hbar\omega_c\Bigl(n+\frac12\Bigr)$$

で、Landau 準位が再現された。$k_2$ を変えても $E$ が変わらない——これが縮退の正体であり、保存量 $\hat p_2$ が生む縮退として見えている。

変数分離の根拠と、$k_2$ の意味

上で「$\hat p_2\to k_2$ と置き換えた」操作には根拠がある。また $k_2$ は運動量の名前を持つが、粒子の速度を表してはいない。次の5つで整理する。

1. 指数関数の形は仮定でなく帰結である。交換子 $\left[\hat H,\,\hat p_2\right]$ が0なので、2つの演算子の同時固有状態を取れる。$\hat p_2$ の固有値方程式を $x_2$ について解くと、指数関数が出る。

$$-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial x_2}=k_2\psi\quad\Longrightarrow\quad\psi(x_1,x_2)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_2x_2/\hbar}f(x_1).$$

$f$ は積分定数の役をする $x_1$ の関数である。同じ Landau 準位の状態どうしは同じエネルギーを持つので、異なる $k_2$ の重ね合わせも $\hat H$ の固有状態で、一般の固有状態はその形をとる。2. $k_2$ は正準運動量の固有値で、$mv_2$ ではない。速度に比例するのは力学的運動量 $\hat\pi_2=\hat p_2-qB\hat x_1$ のほうである。上の状態に作用させると $(k_2-qBx_1)\psi$ になり、係数が位置によるので $\hat\pi_2$ の値は確定しない。期待値は、振動子の中心 $x_1^{(0)}=k_2/qB$ を使って

$$\langle \hat\pi_2 \rangle =k_2-qB\langle \hat x_1 \rangle =k_2-qB\,x_1^{(0)}=0$$

になる。粒子は円軌道を回るので、$x_2$ 方向の平均の速度は0である。$k_2$ は速度ではなく、軌道の中心 $x_1^{(0)}$ を指すラベルである。

このゲージでは案内中心が $\hat X=\hat p_2/qB$ と書け、$k_2$ はその固有値の定数倍にあたる。3次元で磁場の向きの運動まで含めると、$A_3=0$ なので $\hat\pi_3=\hat p_3$ となり、こちらは速度に比例する。3. $k_2$ がよい量子数になるのはゲージの選び方による。前節の対称ゲージ $\bm{A}=\frac B2(-x_2,x_1,0)$ では、ハミルトニアンが座標 $x_2$ を含むので、この方向の正準運動量は保存しない。同じ磁場でも、どの正準運動量が保存するかはゲージで変わる。ゲージによらず保存するのは案内中心（磁気並進、次節の発展）である。4. 演算子の積の順序。ハミルトニアンの2乗を展開するとき、$\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}$ と $\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}$ は一般に異なる。$\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}$ は右のすべてに作用する微分なので、関数 $\psi$ に作用させると積の微分になる。

$$\nabla\cdot(\bm{A}\psi)=(\operatorname{div}\bm{A})\,\psi+\bm{A}\cdot\nabla\psi \quad\Longrightarrow\quad \hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}=\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}-\mathrm{i}\hbar\,(\operatorname{div}\bm{A}).$$

左辺の $\nabla\cdot$ は右のすべてに作用する演算子で、右辺の $\operatorname{div}\bm{A}$ はベクトルポテンシャルの発散（ただの関数）である。Landau ゲージでも対称ゲージでも $\operatorname{div}\bm{A}=0$ なので、2つの順序は等しい。5. 中心をずらす変数変換。$\xi=x_1-x_1^{(0)}$ と置くと $\mathrm{d}/\mathrm{d} x_1=\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi$ で、ハミルトニアンは新しい変数について標準形の振動子になる。固有値は中心によらず、固有関数は平行移動した $\varphi_n(x_1-x_1^{(0)})$ である。平方完成で定数を固有値の側へ移す手順は、分冊『基礎の道具立て』の調和振動子の章で扱った。

縮退度を数える。

$x_2$ 方向に周期境界条件（長さ $L_2$）を課すと $k_2$ は

$$k_2=\frac{2\pi\hbar}{L_2}\,l\qquad(l\in\mathbb Z)$$

に離散化される。一方、振動子の中心 $x_1^{(0)}=k_2/qB=2\pi\hbar l/(qBL_2)$ が試料 $0\le x_1\le L_1$ の中に入っていなければならないから

$$0\ \le\ l\ \le\ \frac{qB\,L_1L_2}{2\pi\hbar}.$$

したがって1つの Landau 準位に入る状態数は

$$\boxed{\ N_B=\frac{|q|B\,L_1L_2}{2\pi\hbar}=\frac{\Phi}{\Phi_0}\ }\qquad \Bigl(\Phi=BL_1L_2,\ \ \Phi_0=\frac{2\pi\hbar}{|q|}\Bigr)$$

——単位面積あたり $|q|B/2\pi\hbar$ 個、全体で「試料を貫く磁束量子の本数」。これは前節までに案内中心の代数（$\left[\hat X,\,\hat Y\right]=\mathrm{i}\ell_B^2$ から1状態あたり面積 $2\pi\ell_B^2$）で得た結果と完全に一致する。同じ答えが「非可換位相空間の最小面積」からも「並進対称性の量子化された保存量の数え上げ」からも出る——縮退度 $\Phi/\Phi_0$ がゲージの取り方によらない物理量であることの、何よりの検証である。

量子ホール効果への一言。

2次元電子系（$q=-e$）に電子を $N$ 個入れると、占有率（filling factor）$\nu:=N/N_B$ が定義できる。$\nu$ がちょうど整数のとき、Hall 伝導度 $\sigma_{xy}$ は

$$\sigma_{xy}=\nu\,\frac{e^2}{2\pi\hbar}=\nu\,\frac{e^2}{h}$$

に量子化されてプラトーを作る（整数量子ホール効果）。この量子化が乱れに対して異常に頑健である理由（位相不変量）は次節「発展」で触れる。