対称ゲージと複素座標：最低 Landau 準位

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.5　★★ 最低Landau準位の波動関数（複素座標）

ここまでは具体的な $\bm{A}$ を選ばずに代数だけで Landau 準位を出した。ここでは対称ゲージ

$$\bm{A}=\Bigl(-\frac{yB}{2},\ \frac{xB}{2},\ 0\Bigr)$$

を選ぶ。このゲージは並進対称性をあらわに破る代わりに、$z$ 軸まわりの回転対称性を保ち、軌道角運動量 $\hat L_z$ が良い量子数になる。波動関数を具体的に書き下せるのが利点だ。

ゲージ不変な力学的運動量 $\hat P_i=\hat p_i-qA_i$ に加え、符号を変えたゲージ不変でない演算子 $\hat\Pi_i=\hat p_i+qA_i$ を導入する。この二つ組が対称ゲージで独立な振動子になることが鍵である。

二つの振動子への分離

★★　二振動子への分離

二組の昇降演算子を

$$\hat a=\frac{1}{\sqrt{2|q|\hbar B}}(\hat P_x-\mathrm{i}\hat P_y),\quad \hat b=\frac{1}{\sqrt{2|q|\hbar B}}(\hat\Pi_x+\mathrm{i}\hat\Pi_y)$$

（および各エルミート共役）で定義する。$\hat a$ がエネルギー（Landau 準位 $n$）を、$\hat b$ が縮退の中の状態（案内中心の自由度）をラベルする。

最低 Landau 準位の波動関数

★★　LLL波動関数の形

複素座標 $z=x-\mathrm{i} y,\ \bar z=x+\mathrm{i} y$ を導入する（この問題群では $z=x-\mathrm{i} y$ という符号約束に注意）。最低 Landau 準位（lowest Landau level, LLL）は $\hat a| \psi_{\rm LLL} \rangle =0$ で定義される基底状態である。

これは美しい結果だ。LLL の波動関数は、任意の正則関数 $f(z)$ に普遍的な Gauss 因子 $\mathrm{e}^{-|z|^2/4\ell_B^2}$ を掛けたものすべて、である。正則関数の自由度（$1,z,z^2,\dots$ という基底）がそのまま LLL の巨大な縮退に対応する。LLL は「正則関数のなす空間」と同一視でき、この見方は分数量子ホール効果（Laughlin 波動関数）の出発点になる。

角運動量と良い量子数

★★　$[\hat H,\hat L_z]=0$ の交換子計算

$\hat H$ が $\hat n_a$ だけ、$\hat L_z$ が $\hat n_a-\hat n_b$ で書けることから、$(\hat n_a,\hat n_b)$ が系を完全にラベルする良い量子数の組だとわかる。$n_a=n$ が Landau 準位（エネルギー）、$n_b$ が縮退内のラベルである。なお $\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\phi$ という微分表示と、一価性による固有値の量子化 $\hbar m$ は、第3部『中心力場と水素原子』の第1・3章で正面から導出している。

角運動量固有関数

★　角運動量固有関数

$|\psi_{\rm LLL,m}|^2\propto |z|^{2m}\mathrm{e}^{-|z|^2/2\ell_B^2}$ は半径 $r_m\simeq\sqrt{2m}\,\ell_B$ の円環状に分布する。$m$ が大きいほど中心から遠い環に局在し、これが「案内中心が試料面内のどこに置かれるか」という縮退の自由度の波動関数表現になっている。半径 $R$ の円内に収まる状態数は $r_m<R$ より $m<R^2/2\ell_B^2$、すなわち $\sim \pi R^2/(2\pi\ell_B^2)=$（面積）／（$2\pi\ell_B^2$）で、前節の縮退度 $N=\Phi/\Phi_0$ と一致する。