一様磁場：サイクロトロン運動と案内中心

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.4　★★★ Landau準位への道。磁場問題の核

以下 $\bm{E}=0,\ \bm{B}=(0,0,B)$ とする。古典的には、粒子は $xy$ 面内で半径 $r_c$ の円をサイクロトロン振動数 $\omega_c=|q|B/m$ で回る。重要なのは、この円運動を「回転する相対座標」と「円の中心（案内中心、guiding center）」に分解する視点である（図5.1.1）。

速度から相対座標 $\hat{\bm{R}}$ を、位置から差し引いて案内中心 $(\hat X,\hat Y)$ を定義する：

$$\hat R_x=\frac{\hat v_y}{\omega_c},\quad \hat R_y=-\frac{\hat v_x}{\omega_c},\qquad \hat X=\hat x-\hat R_x,\quad \hat Y=\hat y-\hat R_y.$$

（古典的には $\hat{\bm{R}}$ は速度を $90^\circ$ 回したもので円周上の変位、$(\hat X,\hat Y)$ が円の中心。）ここで磁気長

$$\ell_B\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{|q|B}},\qquad \ell_B^2=\frac{\hbar}{-qB}\ (\,q<0\,)$$

を導入する。これは後で見るように、磁場が定める最小の長さスケールである。

案内中心の代数

★★　案内中心＝実効正準共役対

この結果は物理的に深い。第一に、相対座標と案内中心が互いに交換する（独立な自由度）。これは古典像（回転運動と中心の位置は無関係）の量子版だ。第二に、$\hat X$ と $\hat Y$ が非可換になっている。案内中心は「円の中心の座標」だが、その $x$ 成分と $y$ 成分は同時に確定できない。$\left[\hat X,\,\hat Y\right]=\mathrm{i}\ell_B^2$ は不確定性関係 $\Delta X\,\Delta Y\ge\ell_B^2/2$ を与え、案内中心は面積 $\sim\ell_B^2$ より細かく位置を定められない。この「最小面積 $2\pi\ell_B^2$」が、次に見る Landau 準位の縮退度を決める。

ここで「独立な自由度」の意味を明確にしておく。古典的には、半径と位相を決める相対運動（$\hat{\bm{R}}$）と、円をどこに置くか（$\hat{\bm{X}}$）は無関係に決められた。量子論でこの「無関係さ」を表すのが交換すること $\left[\hat R_\alpha,\,\hat X_\beta\right]=0$ である。可換な演算子の一般論より、交換するペアは (i) 同時固有状態をもてる（相対運動と中心位置を同時に指定できる）、(ii) 一方の測定が他方を乱さない、(iii) 状態空間がテンソル積 $\mathcal H=\mathcal H_{\text{相対}}\otimes\mathcal H_{\text{案内中心}}$ に分かれ、それぞれが独自の昇降演算子（$\hat a$ と $\hat b$）をもつ。状態を $| n_a,n_b \rangle$ と二つの量子数で書けるのはこのためだ（後述の $(\hat n_a,\hat n_b)$）。$\hat H$ が相対座標だけで書け案内中心を含まない（次節）ので、案内中心の自由度はエネルギーを変えずに状態を増やす——これが縮退の起源である。なお「相対 vs 案内中心」は独立（交換）だが、「案内中心の $\hat X$ と $\hat Y$」は独立でない（$\left[\hat X,\,\hat Y\right]=\mathrm{i}\ell_B^2$）。この内部の非可換性が最小面積 $2\pi\ell_B^2$ を与え、縮退度を有限にしている。

Landau 準位

★★★　ランダウ準位。磁場中の量子力学の中心テーマ

ここで起きていることを噛みしめよう。2次元の自由粒子（連続スペクトル）が、磁場をかけると調和振動子と同じ等間隔離散準位になった。Hamiltonian が相対座標の自由度（$\hat a$）だけで書け、案内中心（$\hat X,\hat Y$）に全く依らないのがポイントだ。エネルギーは案内中心の位置によらないので、案内中心をどこに置いても同じエネルギー——これが各 Landau 準位の巨大な縮退の起源である。試料面積 $S$ あたりの縮退度は、案内中心が占める最小面積 $2\pi\ell_B^2$ で $S$ を割った

$$N=\frac{S}{2\pi\ell_B^2}=\frac{|q|B\,S}{2\pi\hbar}=\frac{\Phi}{\Phi_0}$$

（$\Phi=BS$ は全磁束、$\Phi_0=2\pi\hbar/|q|$ は磁束量子）で与えられる。1 Landau 準位 $=$ 磁束量子の数だけの状態という美しい結果だ。

昇降演算子からエネルギー固有値へ

★★　調和振動子構造の使い回し

Landau 準位の導出では「$\hat a$ を導入したら $E_n=\hbar\omega_c(n+\frac12)$ が出た」と一気に書いたが、その間には中身の濃い議論がある。昇降演算子はいつ使えるのか、そして導入後どう固有値に到達するのかを、調和振動子と並べて丁寧に辿る。これはこの部で繰り返し使う代数的手法の心臓部である。

いつ使えるか：判別条件。

調和振動子 $\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}\hat x^2$ が解けたのは、ポテンシャルの形ではなく次の二つの構造だけに依っていた：(1) $\hat H$ が二つの量の平方和（2次形式）であること、(2) その二つが正準共役（交換子が定数）であること。したがって一般に

$$\boxed{\ \hat H=\alpha\,\hat Q^2+\beta\,\hat P^2\quad\text{かつ}\quad\left[\hat Q,\,\hat P\right]=\mathrm{i}\hbar\,(\text{定数})\ }$$

の形が見えたら昇降演算子が使える。$\hat Q,\hat P$ は元の $\hat x,\hat p$ である必要はなく、交換子が定数になる任意のエルミート対でよい（前章の正準共役の一般化）。線形項は平方完成で吸収でき、4次以上があると閉じない（その場合は摂動論へ進む）。Landau 問題はまさにこの条件を満たす：$\hat H=\frac{m\omega_c^2}{2}(\hat R_x^2+\hat R_y^2)$ は平方和で、$\left[\hat R_x,\,\hat R_y\right]=-\mathrm{i}\ell_B^2$ は定数。$\ell_B^2$ が $\hbar$ の役を演じ、$\hat R_x,\hat R_y$ が実効的な位置・運動量になっている。

$\hat a^\dagger$ のエルミート性に関する注意。

$\hat a=\frac{1}{\sqrt2\ell_B}(\hat R_x-\mathrm{i}\hat R_y)$ にダガーをとると、和の各項と係数 $\mathrm{i}$ それぞれに作用し $\hat a^\dagger=\frac{1}{\sqrt2\ell_B}(\hat R_x^\dagger+\mathrm{i}\hat R_y^\dagger)$。ここで $\hat R_x,\hat R_y$ はエルミート（速度 $\hat v_\alpha$ がエルミートゆえ）だから $\hat R_x^\dagger=\hat R_x$ となり、結局 $\hat a^\dagger=\frac{1}{\sqrt2\ell_B}(\hat R_x+\mathrm{i}\hat R_y)$、すなわち$\mathrm{i}$ の符号だけ反転した形になる。「$\hat R_x,\hat R_y$ にダガーをとらない」のではなく、「とった結果エルミート性で元に戻る」のが正しい理解で、これは調和振動子で $\hat a^\dagger$ が $\hat x-\frac{\mathrm{i}}{m\omega}\hat p$ となるのと同じ事情である。

導入後の論理：個数演算子の固有値を追い込む。

$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ を出発点に、$\hat H=\hbar\omega_c(\hat N+\frac12),\ \hat N\equiv\hat a^\dagger\hat a$ と書けた。エネルギー問題は $\hat N$ の固有値問題に化けた。固有値 $\hat N| \nu \rangle =\nu| \nu \rangle$ を、次の5段で整数に追い込む。

1. (1) 非負性。$\hat N=\hat a^\dagger\hat a$ はエルミートで固有値は実数、さらに $\nu=\langle \nu | \hat a^\dagger\hat a | \nu \rangle =\|\hat a| \nu \rangle \|^2\ge0$。ノルムの2乗だから必ず非負。等号は $\hat a| \nu \rangle =0$ のときのみ。
2. (2) 梯子構造。$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ だけから $\left[\hat N,\,\hat a\right]=-\hat a,\ \left[\hat N,\,\hat a^\dagger\right]=+\hat a^\dagger$。これより

$$\hat N(\hat a| \nu \rangle )=(\nu-1)\hat a| \nu \rangle ,\qquad \hat N(\hat a^\dagger| \nu \rangle )=(\nu+1)\hat a^\dagger| \nu \rangle .$$

$\hat a$ は固有値を1下げ、$\hat a^\dagger$ は1上げる（梯子＝ladder の名の由来）。3. (3) 下限の存在。(2)より $\hat a$ を繰り返せば固有値 $\nu,\nu-1,\nu-2,\dots$ がいくらでも下る。だが(1)より負にはなれない。矛盾を避ける唯一の道は、ある最低状態 $| 0 \rangle$ で梯子が断ち切れること：$\hat a| 0 \rangle =0$。4. (4) 最低固有値は $0$。$\hat a| 0 \rangle =0$ なら(1)の等号より $\nu_{\min}=\|\hat a| 0 \rangle \|^2=0$。5. (5) 整数に限られる。最低が $0$ で、そこから $\hat a^\dagger$ で1ずつ上るので固有値は $0,1,2,\dots$。半端な値（例 $0.5$）は梯子を下ると $0$ を飛び越えて負に突き抜け、(1)に反するので許されない。$| n \rangle \propto(\hat a^\dagger)^n| 0 \rangle ,\ \hat N| n \rangle =n| n \rangle$。

（規格化まで含めると $\hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}| n+1 \rangle ,\ \hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle$。係数は $\|\hat a^\dagger| n \rangle \|^2=\langle n | \hat N+1 | n \rangle =n+1$ から読む。）よって

$$\boxed{\ E_n=\hbar\omega_c\Bigl(n+\tfrac12\Bigr),\quad n=0,1,2,\dots\ }$$

スペクトルの3特徴がすべて自動的に出る：等間隔（$\hat a^\dagger$ が1ずつ上げる）、下に有界（梯子が $\hat a| 0 \rangle =0$ で止まる＝零点エネルギー $\frac12\hbar\omega_c$）、離散（非負性と梯子の衝突）。演算子を作るだけでは何も決まらず、非負性(1)と梯子(2)を衝突させて固有値を整数に追い込むのが核心である。