量子化：極小結合

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.3　★★ $\hat p\to\hat p-q\bm{A}$ の置換。磁場問題の入口

古典 Hamiltonian の $\bm{p}$ を演算子 $\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ に置き換えるだけでよい。これを極小結合（minimal coupling）という：

$$\boxed{\ \hat H=\frac{1}{2m}\bigl(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}})\bigr)^2+qA_0(\hat{\bm{r}}),\qquad q<0\ }$$

この部では電子のように $q<0$ とする。力学的運動量演算子を

$$\hat{\bm{\pi}}\equiv\hat{\bm{p}}-q\bm{A}(\hat{\bm{r}})$$

と書けば $\hat H=\hat{\bm{\pi}}^2/2m+qA_0$ である。以下、磁場のみ（$A_0=0$）を考える。

速度演算子

★★　速度演算子の交換子

§5.1.1 の Heisenberg 方程式によれば、速度は $\hat{\bm{v}}=\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat{\bm{r}}\right]$ で定義される。これを計算するのが最初の例題だ。

力学的運動量は非可換

★★　$[\hat\Pi_x,\hat\Pi_y]$ の計算。磁場中の非可換性の核

磁場の本質的に新しい点は、力学的運動量の異なる成分が互いに交換しないことである。これが量子ホール効果まで貫く磁場の物理の源泉だ。