古典力学の復習：正準運動量と力学的運動量

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.2　★★ 極小結合の前提。二つの運動量の区別

電磁場中の電荷 $q$ の粒子の運動方程式は Lorentz 力

$$m\ddot{\bm{r}}=q\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr)$$

である。これを Lagrange／Hamilton 形式で書くために、スカラーポテンシャル $A_0$ とベクトルポテンシャル $\bm{A}$

$$\bm{E}=-\nabla A_0-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t},\qquad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}$$

を導入する。対応する Lagrangian は（Gauss 単位系の慣習に合わせ $q\bm{A}\cdot\dot{\bm{r}}$ の形で）——「対応する」の意味、すなわちこの $L$ が本当に Lorentz 力を再現することは、直後の例題で確かめる——

$$L=\frac{1}{2}m\dot{\bm{r}}^2+q\,\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r})-qA_0(\bm{r})$$

となる。ここで決定的に重要なのが正準運動量

$$\bm{p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\bm{r}}}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$$

である。これは「質量×速度」ではない！　速度に対応するのは

$$\boxed{\ \bm{\pi}\equiv m\dot{\bm{r}}=\bm{p}-q\bm{A}\ \ (\text{力学的運動量})\ }$$

の方であり、正準運動量 $\bm{p}$ とは $q\bm{A}$ だけずれている。Hamiltonian は Legendre 変換で

$$H=\dot{\bm{r}}\cdot\bm{p}-L=\frac{1}{2m}\bigl(\bm{p}-q\bm{A}\bigr)^2+qA_0=\frac{\bm{\pi}^2}{2m}+qA_0$$

となる。

ゲージ変換とゲージ不変性

★　ゲージ不変性の確認

ベクトルポテンシャルには任意関数 $\chi(\bm{r},t)$ によるゲージ変換の自由度がある：

$$\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\chi,\qquad A_0\to A_0-\frac{\partial\chi}{\partial t}.$$

このとき $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ は不変（$\nabla\times\nabla\chi=0$）であり、物理的な場 $\bm{E},\bm{B}$ は変わらない。同じ磁場を与える $\bm{A}$ は無数にある、ということだ。量子力学では、ゲージ変換に伴い波動関数が位相を獲得する：

$$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\chi/\hbar}\psi.$$

物理量（$|\psi|^2$ や力学的運動量 $\bm{\pi}$ の期待値）はこの位相に依らず不変である。第2章の磁気単極子、第1章の対称ゲージは、この「同じ磁場・違う $\bm{A}$」という自由度を主題にする。