準備：Heisenberg 方程式（この部で使う道具）

量子力学入門　第5部 第1章 §5.1.1　★★ 本章の計算はすべてこの1本から出る

この部の主題である磁場から始めよう。荷電粒子を磁場中に置くと、古典的には Lorentz 力で円運動（サイクロトロン運動）する。これを量子化すると、エネルギーが等間隔の離散準位（Landau 準位）になり、各準位が巨大に縮退する。この章では、磁場をどう Hamiltonian に組み込むか（極小結合）という基礎から始め、「速度とは何か」「なぜ二つの座標が非可換になるのか」を解き明かし、最終的に Landau 準位と最低 Landau 準位の波動関数まで到達する。

→ 基礎の道具立て（測定の公理・不確定性関係・時間発展・調和振動子・描像・スピンと Bloch 球・テンソル積）の詳細は、第1部『基礎の道具立て』を参照。本節は、この部だけで読み進められるようにするための最小限の要約である。

この部は演算子形式を前提とするが、以下で繰り返し使う道具は1本だけなので、ここに掲げておく（演算子・描像の一般論は第1部『基礎の道具立て』を見よ）。あらわな時間依存のない演算子 $\hat A$ の Heisenberg 描像での運動方程式は

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\hat A_H}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[\hat H,\,\hat A_H\right]\ }$$

であり、その期待値をとった $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat A \rangle =\dfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle \left[\hat H,\,\hat A\right] \rangle$ がEhrenfest の定理である。$\hat H=\hat{\bm{p}}^2/2m+V(\hat{\bm{r}})$ なら $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat{\bm{r}} \rangle =\langle \hat{\bm{p}} \rangle /m$、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle \hat{\bm{p}} \rangle =-\langle \nabla V \rangle$ と古典 Newton 方程式が復元する。とくに第1式は「速度 $=$ 運動量$/m$」を意味するが、磁場があるとこの素朴な関係が崩れる——それが本章の出発点である。計算に必要な交換子の道具は Leibniz 則 $\left[\hat A\hat B,\,\hat C\right]=\hat A\left[\hat B,\,\hat C\right]+\left[\hat A,\,\hat C\right]\hat B$ と $\left[\hat p_j,\,f(\hat{\bm{r}})\right]=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_j f(\hat{\bm{r}})$ の二つで足りる。