◆発展：テンソル演算子と Wigner–Eckart の定理

量子力学入門　第4部 第3章 §4.3.3　★ 発展：選択則と射影定理の背景。合成の理解を深める補強

合成の一般論のもう一つの果実が、演算子の行列要素の計算を劇的に簡単化する Wigner–Eckart の定理である。

球面テンソル演算子.

状態が $| j,m \rangle$ で分類されるのと同様に、演算子も回転に対する変換性で分類できる。ランク $k$ の球面テンソル演算子 $\hat T^{(k)}_q$（$q=-k,\dots,k$）とは、回転の生成子と

$$\left[\hat J_z,\,\hat T^{(k)}_q\right]=\hbar q\,\hat T^{(k)}_q,\qquad \left[\hat J_\pm,\,\hat T^{(k)}_q\right]=\hbar\sqrt{k(k+1)-q(q\pm1)}\,\hat T^{(k)}_{q\pm1}$$

を満たす $2k+1$ 個組をいう——「状態 $| k,q \rangle$ と同じ変換則に従う演算子」である。例：スカラー（$\hat H$ など）はランク0、ベクトル演算子（$\hat{\bm{r}},\hat{\bm{p}},\hat{\bm{J}}$）は球面成分 $V_{\pm1}=\mp(V_x\pm\mathrm{i} V_y)/\sqrt2,\ V_0=V_z$ に組み替えるとランク1、$Y_{2q}(\hat{\bm{r}})$ 型がランク2（四重極）。

定理.

「$| k,q \rangle$ のように変換する演算子」を「$| j,m \rangle$」に当てた $\hat T^{(k)}_q| j,m \rangle$ は、角運動量の言葉では合成 $k\otimes j$ と同じ変換をする。よってその $| j',m' \rangle$ 成分は CG 係数に比例するはずで：

帰結が2つ。(i) 選択則：CG 係数が消える組はゼロ——$m'=m+q$ かつ $|j-k|\le j'\le j+k$。ランク1（双極子）なら $\Delta j=0,\pm1$（$0\to0$ 禁止）、$\Delta m=0,\pm1$——原子の輻射選択則（第12部『原子分子光』の第1章）の一般形である。(ii) 比の普遍性：同じ多重項内の行列要素の比は演算子の詳細によらず CG 係数だけで決まる。

射影定理.

ランク1で $j'=j$ の場合、(ii) を $\hat T^{(1)}=\hat{\bm{V}}$ と $\hat{\bm{J}}$ 自身に適用すると、比例係数まで込めて

$$\langle jm' | \hat{\bm{V}} | jm \rangle =\frac{\langle \hat{\bm{V}}\cdot\hat{\bm{J}} \rangle _j}{j(j+1)\hbar^2}\,\langle jm' | \hat{\bm{J}} | jm \rangle$$

——$j$ 多重項の中では、どんなベクトル演算子も $\hat{\bm{J}}$ の「影」にしか見えない（$\bm{J}$ に垂直な成分は $\bm{J}$ まわりの速い歳差で平均化される、という古典絵が正確に対応する）。この定理を $\hat{\bm{V}}=\hat{\bm{L}}+2\hat{\bm{S}}$ に使うと Zeeman 効果の Landé $g$ 因子（第12部『原子分子光』の第2章）が3行で出る（$L=1,S=\frac12,J=\frac32$ の場合について、直接対角化との一致を数値で確認済み）。