単極子とベクトルポテンシャルの問題

量子力学入門　第5部 第2章 §5.2.1　★ Diracのひも（発展）

Maxwell 方程式は $\nabla\cdot\bm{B}=0$——磁荷（磁気単極子）は存在しない——と教える。だが「もし存在したら」量子力学は何を要求するだろうか。Dirac が1931年に見抜いた答えは衝撃的だ：単極子が宇宙に一つでもあれば、すべての電荷は量子化されねばならない。この章では、ベクトルポテンシャルで単極子を表す際に必然的に現れる「ひも」（Dirac string）、それを観測不能にする条件（Dirac の量子化条件）、そして、ひもを使わずに単極子を記述する現代的な方法（Wu–Yang 構成）を学ぶ。鍵は第1章でも顔を出したAharonov–Bohm 効果である。

磁荷 $q_m$ の単極子が原点にあるとすると、磁場は Coulomb 場と同形の

$$\bm{B}=q_m\frac{\bm{r}}{r^3}$$

である。全立体角で積分すると $\oint\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=4\pi q_m\neq0$、すなわち $\nabla\cdot\bm{B}=4\pi q_m\delta^3(\bm{r})\neq0$。ところが量子力学の Hamiltonian は $\bm{A}$ を通じて磁場を取り込むため、$\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と書きたい。しかし恒等的に $\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})=0$ なので、単極子の磁場を大域的に一つの $\bm{A}$ で書くことは不可能である。

それでも書こうとするとどうなるか。極座標 $(r,\theta,\phi)$ で

$$\bm{A}^{(N)}=\frac{q_m(1-\cos\theta)}{r\sin\theta}\,\hat{\bm{e}}_\phi$$

を考えると、$\theta\neq\pi$ で $\nabla\times\bm{A}^{(N)}=q_m\bm{r}/r^3$ を再現する。だが $\theta=\pi$（負の $z$ 軸）で $1-\cos\theta=2$、$\sin\theta\to0$ となり発散する。この特異線が Dirac string（Dirac のひも）である（図5.2.1）。

図 5.2.1　$\bm{A}^{(N)}$ が表す磁場配位。単極子の放射状磁場に加え、負の $z$ 軸に沿って磁束を送り込む「ひも」が付随する。

ひもの正体

★　ひもの正体（発展）