Aharonov–Bohm 効果の一般論：ポテンシャルは実在か

量子力学入門　第5部 第2章 §5.2.2　★ AB効果の概念（発展）

単極子の「ひも」を扱う前に、その道具となる Aharonov–Bohm（AB）効果を一般論として整理しておく。問いはこうだ：磁場 $\bm{B}$ がゼロの領域しか通らない荷電粒子に、ベクトルポテンシャル $\bm{A}\neq0$ は観測可能な影響を与えうるか？

古典力学の答えは「否」である。運動方程式（Lorentz 力）には $\bm{E},\bm{B}$ しか現れず、$\bm{A},\phi$ は現れない。ところが量子力学では、Schrödinger 方程式に $\bm{A}$ が直接書き込まれている（極小結合、§5.1.6 以前の議論）。$\bm{A}$ はゲージ変換で変えられる「計算の道具」にすぎないのか、それとも物理を担うのか——それを判定する思考実験（のちに実験）が AB 効果である。

単連結領域ではベクトルポテンシャルは消せる

★　ゲージで消せる場合

まず「$\bm{B}=0$ の領域が単連結（穴がない：領域内の任意の閉曲線を、領域内で連続的に1点に縮められる）」の場合を考える。このとき次が成り立つ。

定理. 単連結領域 $D$ で $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}=0$ ならば、あるスカラー関数 $f$ が存在して $\bm{A}=\nabla f$ と書ける（すなわち $\bm{A}$ はゲージ変換で $0$ にできる）。

$\Leftarrow$ は $\nabla\times\nabla f=0$ より明らか。$\Rightarrow$（Poincaré の補題）の証明は構成的である：基準点 $\bm{x}_0$ を固定し、$D$ 内の曲線 $C$ に沿った線積分で

$$f(\bm{x}):=\int_{\bm{x}_0}^{\bm{x}}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$$

と定義する。これが well-defined（経路によらない）ことを見るには、2つの経路 $C,C'$ の差をとればよい：

$$\int_C-\int_{C'}=\oint_{C-C'}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l} =\int_S(\nabla\times\bm{A})\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0.$$

ここで閉曲線 $C-C'$ の張る面 $S$ を領域 $D$ の内部にとれること——これこそが単連結性の使いどころであり、$S$ 上で $\bm{B}=0$ だから積分が消える。こうして $f$ が一意に定まり、$\bm{A}=\nabla f$ が従う。

このとき波動関数を $\psi'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qf/\hbar}\psi$ とゲージ変換すれば $\bm{A}$ は消え、$\psi'$ は自由粒子の方程式に従う。結論：単連結領域では、$\bm{B}=0$ なら $\bm{A}$ の影響は一切観測されない。古典の直感はここまでは正しい。

非単連結領域：消し残る循環積分

★　循環積分が残る

状況が一変するのは領域に穴があるときである。典型例が「無限に長いソレノイドの外側」：ソレノイド内部に磁束 $\Phi$ が閉じ込められ、外側では至るところ $\bm{B}=0$ だが、外側領域はソレノイドの分だけ穴が空いた非単連結領域である。

このとき上の構成は破綻する。穴を挟んで反対側を通る2経路の差は、穴を囲む閉曲線となり

$$\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\Phi\ \neq\ 0$$

（Stokes の面 $S$ は必然的に穴＝ソレノイド内部を横切るから、そこの磁束 $\Phi$ を拾う）。線積分が経路に依存してしまい、$f$ を一価の関数として定義できない——$\bm{A}$ をゲージ変換で大域的に消すことは不可能である。「消し残った」量が、ゲージ不変な線積分 $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\Phi$ なのである。

二経路干渉：位相差 $q\Phi/\hbar$

★　位相差 $q\Phi/\hbar$

消し残った $\Phi$ は干渉実験で観測できる。粒子源 $\bm{x}_0$ からスクリーン上の点 $\bm{x}$ へ、ソレノイドの左右を通る2経路 $C_1,C_2$ を考える。各経路 $C_k$ を含む単連結な部分領域 $S_k$ をとれば、その中では前小節の構成が使えて $f_k(\bm{x}):=\int_{\bm{x}_0}^{\bm{x}}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$（$C_k$ に沿う）が定義でき、各経路の波は

$$\psi_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i} qf_k/\hbar}\,\psi_k^{\rm free}$$

（$\psi_k^{\rm free}$：$\bm{A}$ なしの自由伝播解）と書ける。スクリーン上の全振幅は

$$\psi=\psi_1+\psi_2 =\mathrm{e}^{\mathrm{i} qf_1/\hbar}\Bigl[\psi_1^{\rm free}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} q(f_2-f_1)/\hbar}\,\psi_2^{\rm free}\Bigr], \qquad f_2-f_1=\oint_{C_2-C_1}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\Phi.$$

全体位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} qf_1/\hbar}$ は観測にかからないが、相対位相 $q\Phi/\hbar$ は干渉縞の位置を直接ずらす：

$$\boxed{\ \Delta\varphi_{\rm AB}=\frac{q\Phi}{\hbar}\ }$$

粒子は $\bm{B}\neq0$ の領域に一度も入っていないのに、である。位相差が $2\pi$ の整数倍、すなわち

$$\Phi=\frac{2\pi\hbar}{q}\,n\qquad(n\in\mathbb Z)$$

のときだけ縞は $\Phi=0$ の場合と区別がつかない。電子（$|q|=e$）に対するこの周期

$$\Phi_0:=\frac{2\pi\hbar}{e}=\frac{h}{e}$$

が磁束量子である。この効果は外村彰ら（日立、1986）により、超伝導体で覆った微小磁石を用いて決定的に検証された：漏れ磁場を完全に遮蔽してもなお、縞は磁束に応じてずれたのである。