Aharonov–Bohm 効果とひもの不可視条件

量子力学入門　第5部 第2章 §5.2.3　★ Dirac量子化条件（発展）

ひもが物理的に観測できてしまったら、それは単極子ではなくソレノイド付きの装置である。ひもが観測にかからない条件を問うのが次の問題で、そこで主役になるのが Aharonov–Bohm（AB）効果である。

AB 効果の復習。

（一般論は前節§5.2.2で与えた。ここでは要点のみ再掲する。）磁場が閉じ込められて $\bm{B}=0$ の領域だけを通る荷電粒子でも、$\bm{A}\neq0$ なら波動関数は経路に応じた位相

$$\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\int_{\rm path}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}}$$

を獲得する。二つの経路の干渉には位相差

$$\Delta\varphi=\frac{q}{\hbar}\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\frac{q}{\hbar}\Phi_{\rm enc}$$

（$\Phi_{\rm enc}$ は囲む磁束）が現れる。粒子が磁場に一度も触れなくても、囲んだ磁束が干渉縞を動かす——ポテンシャル $\bm{A}$ が単なる計算の道具ではないことを示す量子効果である。

この式の含意は絶大だ。宇宙のどこかに磁荷 $q_m$ の単極子が一つでも存在すれば、あらゆる粒子の電荷は $q_e=\dfrac{\hbar}{2q_m}\times$整数 に量子化される。電子・陽子・クォークの電荷がなぜ厳密に整数比なのか（電荷の量子化）は標準模型でも説明されない謎だが、単極子はその自然な説明を与える。これが「単極子はまだ見つかっていないのに理論家が愛し続ける」理由である。