信号とは何か、そして本書の記号

信号処理論入門　第1章 §1.1　★ 離散/連続の記号と虚数単位jの約束。以降の土台

信号処理は複素数・線形代数・積分といった数理の上に成り立っている。本章では、以後の全章で断りなく使う道具立て—複素数と Euler の公式、内積とノルム、固有値分解、畳み込み、相関関数—を、信号処理での意味づけとともに整理する。一見遠回りに見えるが、ここで「信号とは内積空間のベクトルであり、Fourier 変換とは基底への射影である」という視点を作っておくことが、後半すべての章の見通しを決定的に良くする。

本書が扱うのは、時間とともに振幅が変動する一次元信号、すなわち時系列信号である。これには二種類ある。連続時間信号（アナログ信号）は時間・振幅ともに連続な値をとり、数学的には関数 $x(t)$（$t\in\mathbb{R}$）として表される。一方離散時間信号（ディジタル信号）は、離散的な時刻でのみ値をもつ数列 $x[n]$（$n\in\mathbb{Z}$）であり、ベクトルとしても扱える。コンピュータが扱えるのは後者だけなので、連続信号を離散信号へ変換する「サンプリング」（第5章）が実用上の要となる。

記号の約束を先にまとめておく。信号処理では虚数単位に $\mathrm{j}$ を用い、$i$ は使わない（$i$ は電流などに予約されるため）。本書もこれに従い、$\mathrm{j}^2=-1$ とする。

離散時間の角周波数を $\Omega$ と別記するのには理由がある。離散信号はサンプリング間隔 $T_s$ で刻まれているため、物理的な角周波数 $\omega$ と$\Omega=\omega T_s$ の関係にあり、$\Omega$ は無次元の「1サンプルあたりの位相回転量」である。この区別を最後まで意識することが、サンプリング定理を正しく理解する鍵になる。