複素数と Euler の公式

信号処理論入門　第1章 §1.2　★ Euler・逆Eulerは全範囲で使う基本道具

信号処理で複素数が主役になるのは、正弦波 $\cos,\sin$ を一つの複素指数 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}$ にまとめて扱えるからである。実部・虚部に分けて二本の式を追う代わりに、一本の複素式で振幅と位相を同時に運べるため、計算が劇的に簡潔になる。

式(1.1)は $\mathrm{e}^{x},\cos\theta,\sin\theta$ の Maclaurin 展開

$$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathrm{j}\theta)^k}{k!} =\underbrace{\Bigl(1-\tfrac{\theta^2}{2!}+\tfrac{\theta^4}{4!}-\cdots\Bigr)}_{\cos\theta} +\mathrm{j}\underbrace{\Bigl(\theta-\tfrac{\theta^3}{3!}+\tfrac{\theta^5}{5!}-\cdots\Bigr)}_{\sin\theta}$$

を、$\mathrm{j}$ の冪 $\mathrm{j}^0,\mathrm{j}^1,\mathrm{j}^2,\mathrm{j}^3=1,\mathrm{j},-1,-\mathrm{j}$ の周期性を使って実部・虚部にまとめれば得られる。

複素数 $z=x+\mathrm{j} y$ は複素平面上の一点であり、極形式 $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}$（$r=\left\vert z\right\vert =\sqrt{x^2+y^2}$、$\theta=\arg z$）で書ける。この表示のもとで積と商は

$$z_1 z_2=r_1 r_2\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta_1+\theta_2)},\qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\theta_1-\theta_2)}$$

となり、積は「大きさの積・偏角の和（回転）」、商は「大きさの商・偏角の差」という幾何的な意味をもつ。複素指数を掛ける操作が「回転」であるというこの事実は、後で「時間シフトが周波数領域では位相の回転 $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}$ になる」（第3章）というFourier 変換の最重要の性質へ直結する。

複素共役 $\bar z=x-\mathrm{j} y$ を使うと、実部・虚部は$\operatorname{Re} z=\tfrac12(z+\bar z)$、$\operatorname{Im} z=\tfrac{1}{2\mathrm{j}}(z-\bar z)$、大きさの二乗は $\left\vert z\right\vert ^2=z\bar z$ と表せる。