内積空間とノルム — 信号を「ベクトル」とみる

信号処理論入門　第1章 §1.3　★ 射影の視点とParsevalの下地

信号処理の核心的な視点は、信号を内積空間のベクトルとみなすことにある。離散信号 $\bm x=(x[0],\dots,x[N-1])^{\top}$ は文字通り $\mathbb{C}^N$ のベクトルであり、連続信号 $x(t)$ も「無限次元のベクトル」として同じ枠組みで扱える。この視点のもとで、Fourier 変換は「信号ベクトルを、複素正弦波という基底ベクトルへ射影して展開係数を取り出す操作」として一望できる。

複素の場合、性質3（Hermite 対称性）に共役が付くのが要点である。これがあるからこそ$\left\langle \bm x,\bm x\right\rangle$ が実数かつ非負になり、長さの二乗として意味をもつ。標準内積は、離散では $\left\langle \bm x,\bm y\right\rangle =\sum_n x[n]\overline{y[n]}$、連続では $\left\langle x,y\right\rangle =\int x(t)\overline{y(t)}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ で与えられる。

内積が定まればノルム（長さ）が$\left\Vert \bm x\right\Vert =\sqrt{\left\langle \bm x,\bm x\right\rangle }$ で誘導される。信号のノルムの二乗 $\left\Vert x\right\Vert ^2=\int\left\vert x(t)\right\vert ^2\mathop{}\!\mathrm{d} t$ は信号のエネルギーに他ならない。エネルギーが有限な信号の空間を $L^2$（連続）、$\ell^2$（離散）と書き、本書で Fourier 変換を論じる際の舞台となる。