畳み込み — 線形時不変システムの入出力関係

信号処理論入門　第1章 §1.5　★★ LTIの入出力は畳み込み。畳み込み定理の起点

畳み込みがなぜ主役になるのか。答えは線形時不変（LTI）システムにある。入力の定数倍・和が出力の定数倍・和に対応し（線形性）、入力を時間 $t_0$ ずらすと出力もちょうど $t_0$ ずれる（時不変性）システムを考える。このようなシステムは、インパルス応答 $h$（単位インパルス $\delta$ を入れたときの出力）だけで完全に決まり、任意入力に対する出力は入力とインパルス応答の畳み込み$y=x* h$ で与えられる。直感的には、任意の入力を「ずらして重み付けたインパルスの重ね合わせ」と見て、各インパルスの応答 $h$ を線形性で足し合わせているのである。室内の音響（スピーカからマイクまでの反響特性がインパルス応答）や、光学系のぼけなどが典型例である。

畳み込みは可換（$x* h=h* x$）・結合的・分配的である。そして本書で最も重要な事実は、畳み込みは Fourier 変換で「積」に化ける（畳み込み定理、第3章）ことである。これがフィルタリングを周波数領域で考える理由のすべてである。

周期信号に対しては、1周期にわたって積分・総和する巡回畳み込み（循環畳み込み）

$$(x* h)[n]=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]\,h[(n-m)\bmod N]$$

を用いる。これは離散 Fourier 変換（第5章）と組み合わさって FFT による高速計算（第6章）につながる。