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相関関数

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1章 数学的準備 — 信号処理を支える言語

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第1章 §1.6　★★ 自己相関のパワースペクトル（Wiener–Khinchin）

畳み込みと形が似ているが意味の異なる操作に相関関数がある。二信号の相互相関関数と、自分自身との自己相関関数を次で定義する（連続系）。

rxy(τ)=∫−∞∞x(t) y(t−τ)‾ ⁣dt(相互相関),rxx(τ)=∫−∞∞x(t) x(t−τ)‾ ⁣dt(自己相関).\begin{align*}r_{xy}(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,\overline{y(t-\tau)}\mathop{}\!\mathrm{d} t \qquad(\text{相互相関}),\\r_{xx}(\tau)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,\overline{x(t-\tau)}\mathop{}\!\mathrm{d} t \qquad(\text{自己相関}).\end{align*}

相互相関 rxy(τ)r_{xy}(\tau) は「yy を τ\tau だけずらして xx と内積を取る」操作であり、τ\tau を動かしたとき値が最大になる位置が「二信号が最もよく重なるずれ量」を与える。超音波探傷でパルスの反射位置から傷の位置を推定したり、レーダ・ソナーで往復時間を測ったりするのはこの原理である。

自己相関 rxx(τ)r_{xx}(\tau) は信号自身の「周期性・記憶」を測る量で、第3章で見るようにその Fourier 変換がパワースペクトルになる（Wiener–Khinchin の関係の決定論版）。畳み込みとの違いは「h(t−τ)h(t-\tau) ではなく y(t−τ)‾\overline{y(t-\tau)} を使い、時間反転を伴わない」点にある。記号で言えば rxy(τ)=(x∗y(−⋅)‾)(τ)r_{xy}(\tau)=(x* \overline{y(-\cdot)})(\tau) であり、相互相関は「一方を時間反転・共役した相手との畳み込み」に等しい。

例題1.1（畳み込みの基本計算）★★

オリジナル連続時間信号 x(t)=e−atu(t)x(t)=\mathrm{e}^{-at}u(t)（a>0a>0、uu は単位ステップ）とh(t)=e−btu(t)h(t)=\mathrm{e}^{-bt}u(t)（b>0b>0、a≠ba\ne b）の畳み込み y=x∗hy=x* h を求めよ。

解答

定義より y(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ) ⁣dτy(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\mathop{}\!\mathrm{d}\tau。被積分関数が 00 でないのは τ≥0\tau\ge0 かつ t−τ≥0t-\tau\ge0、すなわち 0≤τ≤t0\le\tau\le t のときで、これには t≥0t\ge0 が必要である。したがって t≥0t\ge0 で

y(t)=∫0te−aτe−b(t−τ) ⁣dτ=e−bt∫0te−(a−b)τ ⁣dτ=e−bt⋅1−e−(a−b)ta−b=e−bt−e−ata−b.y(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-a\tau}\mathrm{e}^{-b(t-\tau)}\mathop{}\!\mathrm{d}\tau =\mathrm{e}^{-bt}\int_0^t \mathrm{e}^{-(a-b)\tau}\mathop{}\!\mathrm{d}\tau =\mathrm{e}^{-bt}\cdot\frac{1-\mathrm{e}^{-(a-b)t}}{a-b} =\frac{\mathrm{e}^{-bt}-\mathrm{e}^{-at}}{a-b}.

t<0t<0 では y(t)=0y(t)=0。まとめると

y(t)=e−bt−e−ata−b u(t).y(t)=\frac{\mathrm{e}^{-bt}-\mathrm{e}^{-at}}{a-b}\,u(t).

検算として b→ab\to a の極限をとると、L'Hôpital より y(t)→t e−atu(t)y(t)\to t\,\mathrm{e}^{-at}u(t) となり、これは重根の場合（x=hx=h）の畳み込みとして妥当である。また y(t)y(t) は t=0t=0 で 00 から立ち上がり、x,hx,h 単独より緩やかに減衰する—畳み込みが信号を「なまらせる（平滑化する）」という直観とも合致する。

この章の道具はすべて、次章以降で「信号を複素正弦波へ展開する」ために使われる。とくに§1.3の内積と§1.5の畳み込み定理は、Fourier 解析全体を貫く二本の柱である。

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