本章のまとめ

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第6章窓関数と高速 Fourier 変換（FFT）

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第6章 §6.4　★★ 窓/リーケージ・零詰め・FFT。まずここ

有限長で切り出すことは時間領域で窓を掛けること、つまり周波数領域で真のスペクトルを窓のスペクトルで畳み込むことに等しい。ここから漏れ・分解能・窓のトレードオフがすべて出る。DFT を速く回す FFT は分割統治が骨である。

事項	要点（式）	使い所・注意
有限長打ち切り	観測長 $N$ で切る＝矩形窓 $w[n]$ （区間内 $1$ ）を掛ける。周波数では真スペクトル $*$ 窓スペクトル（畳み込み定理）	すべての出発点。窓を意識せず DFT すれば暗に矩形窓を掛けている
矩形窓のスペクトル	$\operatorname{sinc}$ 型（ $W(\Omega)=\dfrac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}$ ）。主ローブは最も狭いがサイドローブが高い	主ローブ幅＝分解能、サイドローブ高＝漏れ。矩形は分解能最良・漏れ最悪
スペクトル漏れ（リーケージ）	サイドローブ経由でパワーが周囲周波数へにじむ。観測区間に信号の周期が整数回入らないときに最大	原因は有限長でなく区間と周期の不整合（周期化の継ぎ目の段差）。整数周期なら有限長でも漏れは厳密に $0$ 。 $4\,$ Hz は綺麗な線・ $4.5\,$ Hz はにじむ（ $f_s{=}64$ , 1秒）
窓関数	端で滑らかに $0$ へ落とす重み。Hamming $w[n]{=}0.54{-}0.46\cos\dfrac{2\pi n}{N-1}$ 、他に Hann・Blackman	主ローブ幅（分解能）↔サイドローブ高（漏れ）のトレードオフ。漏れ↓の代償に主ローブ↑
窓の性能値（実測）	零点間幅[bin]／最大サイドローブ[dB]：矩形 $2$ ／ $-13.26$ 、Hann $4$ ／ $-31.47$ 、Hamming $4$ ／ $-42.67$ 、Blackman $6$ ／ $-58.11$	1 bin $=2\pi/N$ 。矩形 $-13$ dB と Hann $-31$ dB の2数を覚える（窓掛けで約 $18$ dB 得る代わりに主ローブ幅2倍）
零詰め（ゼロパディング）	後ろに $0$ を足し $N\to M{>}N$ にして DFT。DTFT を細かい間隔で標本化し直す＝点間の補間	表示上の滑らかさは上がるが真の分解能は上がらない（分解能は観測長 $N$ で確定）。取り違えやすい点
短時間FT（STFT）	短い窓をずらしながら DFT を繰り返す。時間–周波数の2次元表示（スペクトログラム）	周波数が時変な音声等に。窓短→時間分解能↑・周波数分解能↓（時間・周波数の不確定性）
FFT	回転因子 $W_N{=}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi/N}$ の対称・周期性を使い DFT を $O(N^2)\to O(N\log N)$ に（ $N{=}2^p$ で簡明）	$N{=}1024$ で約100倍速。分割統治が原理
バタフライ／間引き	$X[k]{=}E[k]{+}W_N^{k}O[k]$ 、 $X[k{+}N/2]{=}E[k]{-}W_N^{k}O[k]$ （偶奇の $N/2$ -DFT を結合）。 $\log_2 N$ 段	入出力がビットリバース順。順FFT流用で逆FFT可（入力を共役 $\to$ FFT $\to$ 共役 $\to$ $N$ で割る）
高速畳み込み	$y{=}x* h$ を FFT $\to Y[k]{=}X[k]H[k]\to$ 逆FFT で $O(N\log N)$	DFT は巡回畳み込み。線形畳み込みには十分な零詰めで巻き込み回避

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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