定義と収束領域（ROC）

信号処理論入門　第7章 §7.1　★★★ ROC必須。右側/左側・有限長の型は後半全問の前提

ここから後半に入る。後半の主役は「システム」、すなわち入力信号を出力信号へ変換する装置であり、その解析と設計のための道具が本章の z 変換である。DTFT（第4章）は $\sum_n \left\vert x[n]\right\vert$ が発散する信号（例えばステップ $u[n]$ やランプ $nu[n]$）には素直に適用できなかった。z 変換は、複素正弦波 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega n}$ の代わりに振幅も変わる複素指数列 $z^n=(r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})^n$ を基底に採ることでこの制限を取り払う。$r$ という「減衰・増幅の自由度」を持たせたぶん、収束する信号の範囲が広がる—これが z 変換の発想である。

定義を眺めると、これは $x[n]$ を係数とする $z=0$（と $z=\infty$）まわりのLaurent 級数

$$X(z)=\cdots+x[-1]z^{1}+x[0]z^{0}+x[1]z^{-1}+\cdots$$

にほかならない。したがって z 変換の理論は複素関数論の Laurent 展開の理論そのものであり、後で見る逆変換の公式も Laurent 係数を取り出す複素積分として自然に出てくる。

なぜ $z^n$ を基底に選ぶのか。理由は第1章の畳み込みに戻ると明快で、$v_n=z^n$ は畳み込み演算の固有関数だからである。実際、任意の数列 $h_n$ に対して

$$(h* v)_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}}v_{n-k}h_k =\sum_{k\in\mathbb{Z}}z^{n-k}h_k =\underbrace{\Bigl(\sum_{k\in\mathbb{Z}}h_k z^{-k}\Bigr)}_{\text{固有値 }\lambda_z=H(z)}\, \underbrace{z^n}_{v_n}$$

となり、畳み込みという「面倒な演算」がスカラー倍に化ける。固有値として現れる $\sum_k h_k z^{-k}$ は $h$ の z 変換そのものである。この一行が後半全体の種になる（第8章で伝達関数として結実する）。

z 変換は無限級数なので、どの $z$ で収束するかを常に添えなければならない。収束する $z$ の集合

$$\mathrm{ROC}=\{z \mid \left\vert X(z)\right\vert <\infty\}$$

を収束領域（region of convergence）と呼ぶ。絶対収束で評価すると

$$\left\vert X(z)\right\vert \le\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\vert x[n]\right\vert \,\left\vert z\right\vert ^{-n}$$

であり、右辺は $\left\vert z\right\vert$ にしか依らない。ゆえに ROC は原点を中心とする円環状の領域になる。収束の判定には $n$ の符号で和を二つに割るのが便利で、

$$X(z)=\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1}x[n]z^{-n}}_{X_{\mathrm{left}}(z)} +\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}}_{X_{\mathrm{right}}(z)}$$

と分けて、それぞれを左側 z 変換・右側 z 変換と呼ぶ（両方合わせたものを区別のため両側 z 変換と呼ぶこともある）。右側の和は $\left\vert z\right\vert ^{-n}$（$n\ge0$）の級数だから、$\left\vert z\right\vert$ が大きいほど収束しやすく、ROC は最大の極 $z_R$ の外側 $\left\vert z\right\vert >\left\vert z_R\right\vert$ となる。左側の和は逆に $\left\vert z\right\vert$ が小さいほど収束しやすく、ROC は最小の極 $z_L$ の内側$\left\vert z\right\vert <\left\vert z_L\right\vert$ となる。両側信号の ROC は両者の共通部分、すなわち円環$\left\vert z_R\right\vert <\left\vert z\right\vert <\left\vert z_L\right\vert$ である（共通部分が空なら z 変換は存在しない）。

$X(z)$ が有理関数 $X(z)=P_N(z)/P_D(z)$ で表されるとき、分子多項式の根（$X(z)=0$ となる $z$）を零点、分母多項式の根（$X(z)$ が発散する $z$）を極と呼ぶ。極では級数が収束しようがないから、ROC は極を含まず、極が ROC の境界を定める。

解答

（1）$X(z)=\sum_n\delta[n]z^{-n}=z^0=1$。有限和だから全平面で収束し$\mathrm{ROC}=\mathbb{C}$ 全体。

（2）$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots$。これは公比 $z^{-1}$ の等比級数だから $\left\vert z\right\vert >1$ で収束し、

$$u[n]\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{1-z^{-1}},\qquad \mathrm{ROC}=\{z\mid\left\vert z\right\vert >1\}.$$

零点は $z=0$、極は $z=1$ で、ROC は極 $z=1$ の外側になっている。

（3）$X(z)=-\sum_{n=-\infty}^{-1}z^{-n}=-\sum_{m=1}^{\infty}z^{m} =\dfrac{-z}{1-z}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}$。公比 $z$ の等比級数だから今度は$\left\vert z\right\vert <1$ で収束し、

$$-u[-n-1]\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{1-z^{-1}},\qquad \mathrm{ROC}=\{z\mid\left\vert z\right\vert <1\}.$$

（2）と（3）は式の形はまったく同じで、ROC だけが違う。

同じ等比級数の計算で、減衰指数列に対する最重要の対

$$\alpha^n u[n]\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}, \qquad \mathrm{ROC}=\{z\mid \left\vert z\right\vert >\left\vert \alpha\right\vert \}$$

が得られる（$\alpha=1$ がステップ）。また DTFT の対 $a^nu[n]\leftrightarrow1/(1-a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})$（第4章）は、この式で $z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$ と置いたものにほかならない。

解答

定義から直接書き下すと

$$X(z)=0+z^{-1}+2z^{-2}+3z^{-3}+\cdots$$

である。これはステップの変換 $U(z)=1/(1-z^{-1})$（$\left\vert z\right\vert >1$）から作れる。ランプは遅延ステップの積み重ね $r[n]=\sum_{m=1}^{\infty}u[n-m]$ と書けるから、時間シフトの性質（次節）$\mathcal{Z}[u[n-m]]=z^{-m}U(z)$ を使って

$$X(z)=\sum_{m=1}^{\infty}z^{-m}\,\frac{1}{1-z^{-1}} =\frac{1}{1-z^{-1}}\cdot\frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} =\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2},\qquad \mathrm{ROC}=\{z\mid\left\vert z\right\vert >1\}.$$

零点は $z=0$、極は $z=1$（二重）である。別解として、$U(z)$ を $z^{-1}$ で微分してから $z^{-1}$ を掛けても同じ式が出る（等比級数の項別微分）。