z変換の性質

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7章 z変換 — 離散時間信号のもう一つの変換

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第7章 §7.2　★★ 畳み込み定理の証明

以下、 $x[n]\leftrightarrow X(z)$ 、 $y[n]\leftrightarrow Y(z)$ とする。どれも定義式の和の変数変換だけで証明できるので、導出ごと覚えるのがよい。

要点

z 変換の性質一覧

線形性： $\mathcal{Z}[\alpha x[n]+\beta y[n]]=\alpha X(z)+\beta Y(z)$
時間シフト： $\mathcal{Z}[x[n-m]]=z^{-m}X(z)$
スケール変換（指数重み）： $\mathcal{Z}[\alpha^n x[n]]=X(z/\alpha)$
複素共役： $\mathcal{Z}[x^*[n]]=X^*(z^*)$
畳み込み： $\mathcal{Z}[x[n]* y[n]]=X(z)Y(z)$
乗算： $\mathcal{Z}[x[n]y[n]]=\dfrac{1}{2\pi\mathrm{j}}\displaystyle\oint_C X(\zeta)\, Y\!\Bigl(\frac{z}{\zeta}\Bigr)\zeta^{-1}\mathop{}\!\mathrm{d}\zeta$ （積分路を単位円に取れば循環畳み込み）
相関関数： $\mathcal{Z}[r_{xy}[m]]=X(z)\,Y^*\!\Bigl(\dfrac{1}{z^*}\Bigr)$ 、ただし $r_{xy}[m]=\sum_n x[n+m]y^*[n]$
Parseval（一般化）： $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\vert x[n]\right\vert ^2 =\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\oint_C X(z)X^*\!\Bigl(\frac{1}{z^*}\Bigr)z^{-1}\mathop{}\!\mathrm{d} z$

代表として時間シフトと畳み込みを導出しておく。時間シフトは $k=n-m$ と置き換えるだけで

$\mathcal{Z}[x[n-m]]=\sum_{n}x[n-m]z^{-n} =\sum_{k}x[k]z^{-k-m}=z^{-m}\sum_k x[k]z^{-k}=z^{-m}X(z).$

1サンプルの遅延が $z^{-1}$ 倍に対応する—これが「 $z^{-1}$ ＝遅延素子」というディジタル信号処理の記法の由来であり、第8章のブロック線図・差分方程式の変換で繰り返し使う。畳み込みは和の順序交換により

$\mathcal{Z}[x* y]=\sum_n\Bigl(\sum_m x[m]y[n-m]\Bigr)z^{-n} =\sum_m x[m]\sum_n y[n-m]z^{-n} =\sum_m x[m]\,z^{-m}Y(z)=X(z)Y(z)$

となる。Fourier 変換の畳み込み定理（第3章）とまったく同じ構造であり、理由も同じ— $z^n$ が畳み込みの固有関数だから—である。スケール変換は $\alpha^n x[n]$ の和で $z/\alpha$ がまとまって現れることから即座に出る。この性質は「信号に指数の重みを掛けることは、z 平面を半径方向に伸縮することと同じ」と読め、第11章の周波数変換（ $\alpha=-1$ で $z\to-z$ 、すなわち LPF→HPF）の伏線になる。

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