逆z変換 — Laurent 係数の取り出し

信号処理論入門　第7章 §7.3　★★ 部分分数で$\alpha^n u[n]$に帰着はh[n]算出の定石

z 変換が Laurent 級数なら、係数 $x[n]$ は複素積分で取り出せるはずである。鍵になるのは次の周回積分の値である。積分路 $C$ を特異点 $z=\alpha$ を反時計回りに一周する円 $z=\alpha+r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}$ に取ると

$$\oint_C\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} z}{(z-\alpha)^n} =\int_0^{2\pi}\frac{r\mathrm{j}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}}{r^n\mathrm{e}^{\mathrm{j} n\theta}}\mathop{}\!\mathrm{d}\theta =\frac{\mathrm{j}}{r^{n-1}}\int_0^{2\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{j}(n-1)\theta}\mathop{}\!\mathrm{d}\theta =\begin{cases}2\pi\mathrm{j}, & n=1\\ 0, & n\ne1\end{cases}$$

となる（Cauchy の積分定理により、値は正則領域内での積分路の変形に依らない）。つまり周回積分は「$1/(z-\alpha)$ の係数」だけを拾う。$X(z)=\sum_n x[n]z^{-n}$ に $z^{n-1}$ を掛けると、取り出したい $x[n]$ の項がちょうど$z^{-1}$ の項になるから、

$$x[n]=\mathcal{Z}^{-1}[X(z)]=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\oint_C X(z)\,z^{n-1}\mathop{}\!\mathrm{d} z$$

が逆 z 変換の公式である（$C$ は ROC 内で原点を反時計回りに一周する閉路）。

実際には周回積分を計算することはまれで、有理関数なら部分分数分解で既知の対 $\alpha^nu[n]\leftrightarrow1/(1-\alpha z^{-1})$ に帰着させるのが定石である。

$$X(z)=\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-p_kz^{-1}},\qquad A_k=\bigl(1-p_kz^{-1}\bigr)X(z)\Big|_{z=p_k}$$

と展開できれば（$A_k$ の式は Heaviside の被覆法）、ROC が $\left\vert z\right\vert >\max_k\left\vert p_k\right\vert$（因果的）の場合

$$x[n]=\sum_{k=1}^{N}A_k\,p_k^n\,u[n]$$

となる。具体的な計算は第8章で、システムのインパルス応答を求める形で行う。