DTFT との関係

信号処理論入門　第7章 §7.4　★★ DTFTは単位円上のz変換

z 変換で $z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$、すなわち単位円上に制限すると

$$X(z)\Big|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n} =\mathrm{DTFT}[x[n]]$$

と DTFT に一致する。つまりDTFT は z 変換の単位円上での値であり、「DTFT が存在する」ことは「ROC が単位円を含む」ことに対応する。逆に $y[n]=r^{-n}x[n]$ の DTFT を考えると

$$Y(\Omega)=\sum_n r^{-n}x[n]\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega n}=\sum_n x[n](r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})^{-n} =X(z)\Big|_{z=r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}}$$

となり、z 変換とは「指数の重みで無理やり収束させた信号の DTFT」だと分かる。逆変換どうしの関係も同様で、逆 z 変換の積分路を単位円 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$（$\mathop{}\!\mathrm{d} z=\mathrm{j}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega$）に取れば

$$x[n]=\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\oint_{\left\vert z\right\vert =1}X(z)z^{n-1}\mathop{}\!\mathrm{d} z =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}X(\Omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega n}\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega$$

と逆 DTFT（第4章）そのものに戻る。前半と後半はこの一点で滑らかに接続する。