2倍間引きの z 領域表現（標本化定理の z 変換版）

信号処理論入門　第7章 §7.5　★ 標本化定理のz変換版

離散時間信号から偶数番目の標本だけを取り出す操作$y[n]=x[2n]$ を2倍間引き（デシメーション）と呼ぶ。標本を半分捨てるのだから折り返しが起きるはずで、実際その折り返しが z 領域の式にはっきり見える形で現れる。第5章で連続時間の標本化について述べたことの離散版であり、道具立ては §5.1 の双対表の第1行だけである。

まず $Y(z)=\sum_n x[2n]z^{-n}$ の変数を $z^2$ に取り替える。$(z^2)^{-n}=z^{-2n}$ なので $k=2n$ と置き直せて

$$Y(z^{2})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[2n]\,z^{-2n} =\sum_{k:\ \text{偶数}}x[k]\,z^{-k}$$

となる。これは$X(z)=\sum_k x[k]z^{-k}$ のうち $k$ が偶数の項だけを残した部分和である。$z$ の指数が元の信号の添字とそろった点が肝心で、ここまで来れば「偶数番だけを残す」という操作を式で書くだけでよい。$(-1)^k$ は $k$ が偶数のとき $1$、奇数のとき $-1$ だから

$$\frac{1+(-1)^{k}}{2}=\begin{cases}1 & (k\ \text{偶数})\\ 0 & (k\ \text{奇数})\end{cases}$$

が偶数番だけを通すふるいになる。これを掛けて全 $k$ で和を取ると

$$Y(z^{2})=\frac{1}{2}\sum_k x[k]z^{-k}+\frac{1}{2}\sum_k(-1)^{k}x[k]z^{-k} =\frac{1}{2}\bigl[X(z)+X(-z)\bigr]$$

を得る。第2項で $X(-z)$ が出るのは、$(-z)^{-k}=(-1)^{-k}z^{-k}=(-1)^{k}z^{-k}$ より$\sum_k(-1)^kx[k]z^{-k}=\sum_k x[k](-z)^{-k}=X(-z)$ となるからで、これは指数重みの性質 $\mathcal{Z}[\alpha^nx[n]]=X(z/\alpha)$ の $\alpha=-1$ の場合にほかならない。最後に $z\to z^{1/2}$ と読み替えれば $Y$ そのものが $X$ で書ける。