本章のまとめ

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7章 z変換 — 離散時間信号のもう一つの変換

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第7章 §7.6　★★★ ROCと畳み込み定理は後半全体の土台

z 変換は $z^n=(r\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})^n$ を基底に採り、DTFT が扱えなかった非減衰信号まで「指数の重み $r$ 」で収束させる拡張である。要は $X(z)$ と ROC の組で信号が一意に定まり、 $z^n$ が畳み込みの固有関数だから畳み込みが積 $X(z)Y(z)$ に化ける—これが後半（伝達関数）の種になる。

事項	要点（式）	使い所・注意
定義・ROC	$X(z)=\displaystyle\sum_{n}x[n]z^{-n}$ （ $x[n]$ 係数の Laurent 級数）。ROC $=\{z\mid\left\vert X(z)\right\vert <\infty\}$ は $\left\vert z\right\vert$ だけに依り原点中心の円環。極を含まず、極が境界を定める	ROC を書かない z 変換は不完全。右側＝最大極の外側・左側＝最小極の内側・両側＝円環
基本変換対	$\delta[n]\!\to\!1$ （全平面）／ $u[n]\!\to\!\dfrac{1}{1-z^{-1}}$ （ $\left\vert z\right\vert >1$ ）／ $-u[-n-1]$ も同式で $\left\vert z\right\vert <1$ ／ $nu[n]\!\to\!\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$ ／ $\alpha^n u[n]\!\to\!\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}}$ （ $\left\vert z\right\vert >\left\vert \alpha\right\vert$ ）	$\alpha^n u[n]$ 対が最重要（ $\alpha{=}1$ でステップ）。同じ式でも ROC で別信号（因果／反因果）
線形性	$\mathcal{Z}[\alpha x{+}\beta y]=\alpha X(z)+\beta Y(z)$	部分分数分解して各項に適用する下地
時間シフト	$\mathcal{Z}[x[n-m]]=z^{-m}X(z)$	1サンプル遅延 $=z^{-1}$ 倍。ブロック線図・差分方程式の変換の要
指数重み（スケール）	$\mathcal{Z}[\alpha^n x[n]]=X(z/\alpha)$ 。共役 $\mathcal{Z}[x^[n]]=X^(z^*)$	z 平面の半径伸縮。 $\alpha{=}-1$ （ $z\to-z$ ）で LPF $\to$ HPF の伏線（第11章）
畳み込み	$\mathcal{Z}[x* y]=X(z)Y(z)$ 。相関 $\mathcal{Z}[r_{xy}[m]]=X(z)Y^(1/z^)$	$z^n$ が固有関数だから積に化ける。証明は典型的な練習になる
逆 z 変換	$x[n]=\dfrac{1}{2\pi\mathrm{j}}\displaystyle\oint_C X(z)z^{n-1}\mathop{}\!\mathrm{d} z$ 。実用は部分分数 $\to\sum_k A_k p_k^n u[n]$ （ $A_k$ は被覆法）	有理関数は $\alpha^n u[n]$ 対へ帰着が定石。周回積分は Laurent 係数の取り出し
DTFT との関係	$X(z)\big\|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}}=\mathrm{DTFT}[x[n]]$ （単位円上の値）	DTFT 存在 $\Leftrightarrow$ ROC が単位円を含む。前半と後半の接続点
2倍間引き	$y[n]{=}x[2n]$ なら $Y(z)=\dfrac12\bigl[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})\bigr]$ 。DFT 版は $Y[m]=\dfrac12(X[m]+X[m{+}N/2])$	折り返しは第2項 $X(-z^{1/2})$ （ $2\pi$ ずれた複製）。 $\left\vert \Omega\right\vert {<}\pi/2$ の帯域制限で消えて $Y=\tfrac12X(z^{1/2})$ ＝標本化定理の z 版

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