システムの三条件

信号処理論入門　第8章 §8.1　★★★ 線形・時不変の判定と離散LTIの基礎記述

本章では信号を処理する主体であるシステムを定式化する。扱うのは離散時間・線形・時不変（LTI: linear time-invariant）システムであり、その全挙動がインパルス応答ひとつで決まること、z 変換により伝達関数という代数的な表現が得られること、そして極の位置が安定性を支配することを示す。

システムとは、入力信号から所定の出力信号を得るために動作する要素のまとまりであり、作用素 $\mathcal{L}$ を用いて $y[n]=\mathcal{L}[x[n]]$ と書く。本書で扱うシステムは次の三つの性質を持つ。

• 離散時間 離散時間信号 $x[n]$（$n\in\mathbb{Z}$）を入力し、離散時間信号 $y[n]$ を出力する。
• 線形性 重ね合わせが成り立つ：$\mathcal{L}[\alpha x[n]+\beta y[n]]=\alpha\mathcal{L}[x[n]]+\beta\mathcal{L}[y[n]]$（$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{C}$）。このとき $\mathcal{L}$ は信号ベクトルへの線形作用素（行列の無限次元版）とみなせる。
• 時不変性（シフト不変性） システムの性質が時間とともに変わらない：$y[n]=\mathcal{L}[x[n]]$ ならば $y[n-m]=\mathcal{L}[x[n-m]]$（$\forall m$）。

時不変性の判定は「先にシステムを通してからシフトした出力」と「先にシフトしてからシステムを通した出力」の比較で行う。例えば $y[n]=n\,x[n]$ は、先に通してからシフトすると $(n-m)x[n-m]$、先にシフトしてから通すと $n\,x[n-m]$ で一致しないから時変である（係数 $n$ が「時計を見ている」）。一方 $y[n]=a^k x[n-k]$（$a,k$ 定数）はどちらの順でも $a^kx[n-m-k]$ となり時不変である。